如何在 SymPy 中求解线性方程组？答案

【问题标题】：How can I solve system of linear equations in SymPy?如何在 SymPy 中求解线性方程组？
【发布时间】：2015-10-11 09:57:39
【问题描述】：

抱歉，总的来说，我对 sympy 和 python 还是很陌生。

我想求解以下欠定线性方程组：

x + y + z = 1 
x + y + 2z = 3

【问题讨论】：

到目前为止你尝试过什么？你的研究成果是什么？网络搜索似乎提供了很多示例。请告诉我您在询问之前阅读了文档并进行了搜索。
我试过这个：solve_linear_system(M, (x, y, z))，其中 M = Matrix(((1, 1, 1, - 1), (1, 1, 2, - 3)))，它给了我一个 IndexError。
这里的方程比未知数少。当您有相等数量的方程和未知数时，您需要一个 SVD 求解器，而不是通常的线性求解器。无法保证唯一的解决方案。

标签： python math sympy

【解决方案1】：

SymPy 最近有了一个新的线性系统求解器：linsolve in sympy.solvers.solveset，您可以按如下方式使用它：

In [38]: from sympy import *

In [39]: from sympy.solvers.solveset import linsolve

In [40]: x, y, z = symbols('x, y, z')

方程式列表：

In [41]: linsolve([x + y + z - 1, x + y + 2*z - 3 ], (x, y, z))
Out[41]: {(-y - 1, y, 2)}

增广矩阵形式：

In [59]: linsolve(Matrix(([1, 1, 1, 1], [1, 1, 2, 3])), (x, y, z))
Out[59]: {(-y - 1, y, 2)}

A*x = b 形式

In [59]: M = Matrix(((1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 3)))

In [60]: system = A, b = M[:, :-1], M[:, -1]

In [61]: linsolve(system, x, y, z)
Out[61]: {(-y - 1, y, 2)}

注意：解的顺序与给定符号的顺序相对应。

【讨论】：

应该注意的是，linsolve 尚未在任何版本中可用。目前只能通过开发版本访问。
我使用的是 sympy 0.7.6，首先我无法得到 linsolve，所以使用了求解，其次，增广矩阵和 Ax = b 形式给出了 EMPTY LIST [] 答案，只有第一种方法给出了像上面一样的解决方案，我们该如何解决这个问题？

【解决方案2】：

除了@AMiT Kumar 和@Scott 给出的出色答案之外，SymPy 1.0 还添加了更多功能。对于未定线性方程组，我在下面尝试并使其工作，而无需深入了解sympy.solvers.solveset。话虽如此，如果好奇心引导你去那里。

from sympy import *
x, y, z = symbols('x, y, z')
eq1 = x + y + z
eq2 = x + y + 2*z
solve([eq1-1, eq2-3], (x, y,z))

这给了我{z: 2, x: -y - 1}。再次，伟大的包，SymPy 开发者！

【讨论】：

【解决方案3】：

import sympy as sp
x, y, z = sp.symbols('x, y, z')
eq1 = sp.Eq(x + y + z, 1)             # x + y + z  = 1
eq2 = sp.Eq(x + y + 2 * z, 3)         # x + y + 2z = 3
ans = sp.solve((eq1, eq2), (x, y, z))

这类似于@PaulDong 的回答，只是做了一些小改动

习惯于不使用import * 是一个好习惯（numpy 有许多类似的功能）
用sp.Eq() 定义方程会在以后产生更清晰的代码

【讨论】：

添加进一步的解释有助于读者理解为什么你的答案比其他人更好，并让他们投票给你。使用edit 函数扩展您的答案。

【解决方案4】：

另一个关于矩阵线性系统方程的例子，假设我们正在求解这个系统：

在SymPy 中，我们可以这样做：

>>> import sympy as sy
... sy.init_printing()

>>> a, b, c, d = sy.symbols('a b c d')
... A = sy.Matrix([[a-b, b+c],[3*d + c, 2*a - 4*d]])
... A

⎡ a - b     b + c  ⎤
⎢                  ⎥
⎣c + 3⋅d  2⋅a - 4⋅d⎦


>>> B = sy.Matrix([[8, 1],[7, 6]])
... B

⎡8  1⎤
⎢    ⎥
⎣7  6⎦


>>> A - B

⎡ a - b - 8     b + c - 1  ⎤
⎢                          ⎥
⎣c + 3⋅d - 7  2⋅a - 4⋅d - 6⎦


>>> sy.solve(A - B, (a, b, c, d))
{a: 5, b: -3, c: 4, d: 1}

【讨论】：

【解决方案5】：

您可以以矩阵形式求解Ax=b（在这种情况下是一个欠定系统，但我们可以使用solve_linear_system）：

from sympy import Matrix, solve_linear_system

x, y, z = symbols('x, y, z')
A = Matrix(( (1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 3) ))
solve_linear_system(A, x, y, z)

{x: -y - 1, z: 2}

或者改写为（我的编辑，不是同情）：

[x]=  [-1]   [-1]
[y]= y[1]  + [0]
[z]=  [0]    [2]

对于正方形A，我们可以定义b 并使用A.LUsolve(b)。

【讨论】：