二维曲线逼近答案

【问题标题】：Two Dimensional Curve Approximation二维曲线逼近
【发布时间】：2012-02-02 11:34:11
【问题描述】：

这是我想做的（最好是使用 Matlab）：

基本上，我有几条汽车在十字路口行驶的痕迹。每个都是嘈杂的，所以我想取所有测量的平均值，以获得更好的真实路线近似值。换句话说，我正在寻找一种逼近曲线的方法，它与所有测量的轨迹的距离最小（在最小二乘意义上）。

乍一看，这与 CurveFitting Toolbox 的 spap2 可以实现的非常相似（Least-Squares Approximation here 部分中的好例子）。但是这个算法有一些主要缺点：它假设一个函数（每个 x 恰好有一个 y(x)），但我想要的是 2d 曲线（一个 x 可能有几个 y(x)）。当汽车右转或左转超过 90 度时，这会导致问题。此外，它采用垂直偏移而不是垂直偏移（根据wolfram 上的定义）。

有人知道如何解决这个问题吗？我曾想过使用 B-Spline 并更改节数和度数，直到达到一定的拟合质量，但我无法通过分析或 CurveFitting Toolbox 提供的功能找到解决此问题的方法。有没有办法在不进行数值优化的情况下解决这个问题？

【问题讨论】：

你能让每条路径成为时间的函数吗？对于每个时间值，一辆车只有一个 (x,y) 坐标。
这就产生了一个问题，即每辆汽车的行驶速度都不同。如果 t=0 设置在交叉路口前的给定点，则一辆车可能已经完成了转弯机动，而另一辆车（更仔细地看汽车）在相同的时间后还没有完成。因此，两辆车同时的 (x,y) 平均值不会导致一条与测量轨迹的距离最短（在 x-y 平面上）的曲线。
我在想，与其对不同汽车的路径进行平均，不如将每条路径中的高频噪声滤除以使其平滑。

标签： geometry curve approximation

【解决方案1】：

mbeckish 是对的。为了在曲线形状上获得足够的灵活性，您必须使用参数曲线表示 (x(t), y(t)) 而不是显式表示 y(x)。见Parametric equation。

给定曲线上的 n 个连续点，如果您知道，则分配它们的真实时间，如果您不知道，则只分配整数 0..n-1。然后使用向量 T, X 和 T, Y 而不是 X, Y 调用 spap2 两次。现在对于任意 t，您会在曲线上得到一个点 (x, y)。

这不会为您提供真正的最小二乘解决方案，但应该足以满足您的需求。

【讨论】：

这意味着所有汽车都以相同的速度行驶，因为它假设对于不同的路径 (x_i(t_0), y_i(t_0)) 对于所有路径 i 和时间都彼此接近t_0。我认为您需要一种进行平均的方法，该方法还允许重新参数化路径。