为什么两个浮点类型变量具有不同的值[重复]

Question

我有两个大小接近 1000 的整数向量，我要做的是检查这两个向量的平方整数之和是否相同。所以我写了以下代码：

std::vector<int> array1;
std::vector<int> array2;
... // initialize array1 and array2, and in the experiment all elements
    // in the two vectors are the same but the sequence of elements may be different.
    // For example: array1={1001, 2002, 3003, ....} 
   //               array2={2002, 3003, 1001, ....}
assert(array1.size() == array2.size());
float sum_array1 = 0;
float sum_array2 = 0;
for(int i=0; i<array1.size(); i++)
       sum_array1 +=array1[i]*array1[i];
for(int i=0; i<array2.size(); i++)
       sum_array2 +=array2[i]*array2[i];

我希望sum_array1 应该等于sum_array2，但实际上在我的应用程序中我发现它们是不同的sum_array1 = 1.2868639e+009 而sum_array2 = 1.2868655e+009。我接下来所做的是将sum_array1 和sum_array2 的类型更改为double 类型，如下代码所示：

 double sum_array1 = 0;
    double sum_array2 = 0;
    for(int i=0; i<array1.size(); i++)
           sum_array1 +=array1[i]*array1[i];
    for(int i=0; i<array2.size(); i++)
           sum_array2 +=array2[i]*array2[i];

这次sum_array1 等于sum_array2 sum_array1=sum_array2=1286862225.0000000。我的问题是为什么它会发生。谢谢。

Answer 1

在两个循环中，您添加的数字相同，但顺序不同。一旦总和超过float 可以精确表示的整数值，您就会开始失去精度，并且总和最终可能会略有不同。

一个供你尝试的实验：

float n = 0;
while (n != n + 1)
    n = n + 1;
//Will this terminate? If so, what is n now?

如果你运行它，你会发现循环实际上终止了 - 这似乎完全违反直觉，但根据 IEEE single-precision floating point 算法的定义是正确的行为。

您可以尝试相同的实验，将float 替换为double。您会看到同样的奇怪行为，但这次循环将在 n 大得多时终止，因为 IEEE double-precision floating point 数字可以实现更高的精度。

Answer 2

浮点表示法（通常为 IEEE754）使用有限位来表示小数，因此 operations with floating-point numbers result in precision loss。

通常，与常识相反，如果 a 是浮点变量，则像 a == ((a+1)-1) 这样的比较会导致 false。

解决办法：

要比较两个浮点数，您必须使用一种“精度损失范围”。也就是说，如果一个数字不同于小于 precision-loss-range 的其他数字，则您认为该数字相等：

//Supposing we can overload operator== for floats
bool operator==( float lhs , float rhs)
{
    float epsilon = std::numeric_limits<float>.epsilon();

    return std::abs(lhs-rhs) < epsilon;
}

Answer 3

浮点值的大小是有限的，因此只能以有限的精度表示实数值。当您需要比它们存储的精度更高的精度时，这会导致舍入错误。

特别是，当将一个小数（例如您要求和的数）添加到一个大得多的数（例如您的累加器）时，与小数相比，精度损失可能会很大，从而产生很大的误差;并且错误会根据顺序而有所不同。

通常，float 具有 24 位精度，对应于大约 7 个小数位。您的累加器需要 10 位小数（大约 30 位），因此您会遇到这种精度损失。通常，double 有 53 位（大约 16 位小数），因此您的结果可以准确表示。

64 位整数可能是这里的最佳选择，因为所有输入都是整数。使用整数可以避免精度损失，但如果输入太多或太大，则会带来溢出的危险。

如果您不能使用足够宽的累加器，为了最大限度地减少错误，您可以对输入进行排序，以便首先累加最小值；或者你可以使用更复杂的方法，例如Kahan summation。

Answer 4

double 具有更多位，因此比float 拥有更多信息。当您向浮点数添加值时，它最终会在 sum_array1 和 sum_array2 的不同时间对信息进行四舍五入。

根据输入值，使用双精度浮点数时可能会遇到同样的问题（如果值足够大）。

通过网络搜索“您需要了解的有关浮点数的所有信息”，您可以很好地了解这些限制以及如何最好地处理这些限制。