如果我们将合并排序中的数组拆分为 4 部分怎么办？还是八个部分？答案

【问题标题】：What if we split the array in merge sort into 4 parts?? or eight parts?如果我们将合并排序中的数组拆分为 4 部分怎么办？还是八个部分？
【发布时间】：2015-05-27 01:14:09
【问题描述】：

我在斯坦福的一张幻灯片中遇到了这个问题，如果我们将数组分成 4 个或 8 个而不是 2 个，对合并排序代码的复杂性会有什么影响。

【问题讨论】：

就 big-O 而言，没有什么区别。无论哪种方式，它都是 O(N log N)。对数的底数会从 2 变为 4 或 8，但对数的底数与复杂度无关。

标签： algorithm sorting mergesort

【解决方案1】：

应该是一样的：O(n log n)。您将有一个较短的树，并且对数的底会发生变化，但这对于 big-oh 来说并不重要，因为以 a 为底的对数与以 b 为底的对数有一个常数：

log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)
1 / log_b(a) = constant

而且 big-oh 会忽略常量。

为了合并4 或8 或许多部分，您仍然需要在每个树级别执行O(n) 工作，这些部分与更多递归调用相结合，可能只会让整个事情变得更慢练习。

【讨论】：

【解决方案2】：

通常，您可以将数组拆分为任意大小的相等大小的子数组，然后对子数组进行递归排序，然后使用最小堆从已排序子数组的集合中不断提取下一个最小元素。如果您分解的子数组的数量是恒定的，那么每个操作的每个最小堆的执行时间是恒定的，因此您到达相同的 O(n log n) 时间。

【讨论】：

【解决方案3】：

直观地说，这与将数组拆分为两部分然后再次执行或从一开始将其拆分为 4 部分之间没有太大区别。

基于this 的更正式的归纳证明（我假设数组被拆分为k）：

Definitions:     
  Let T(N) - number of array stores to mergesort of input of size N
  Then mergesort recurrence T(N) = k*T(N/k) + N (for N > 1, T(1) = 0)

Claim: 
  If T(N) satisfies the recurrence above then T(N) = Nlg(N)
  Note - all the logarithms below are on base k 

Proof:
  Base case: N=1 
  Inductive hypothesis: T(N) = NlgN
  Goal: show that T(kN) = kN(lg(kN))

  T(kN) = kT(N) + kN              [mergesort recurrence]
        = kNlgN + kN              [inductive hypothesis]
        = kN(lg[(kN/k)]           [algebra]
        = kN(lg(kN) - lgk)        [algebra]
        = kN(lg(kN) - 1) + kN     [algebra - for base k, lg(k )= 1]
        = kNlg(kN)                [QED]

【讨论】：

我希望在 4-split 的情况下合并步骤为 2N，对于 8-split 为 3N（并不是说它改变了复杂性，它没有）。
比较的总数应该与比较的递归级别较少相同。换句话说，对于 k 路拆分，您确实需要进行 lg(k) 比较，但这与您进行 2 路拆分相同，然后您必须在 lg(k) 级别进行比较。
我们应该解决 T(n)=2*T(n/2)+n 与例如直接T(n)=8*T(n/8)+3*n，肯定会看到这个。第一个似乎是n*logBase(2,n)，第二个似乎是3*n*logBase(8,n)（对吗？），所以，是的。