这种语言与其自身的连接是什么？

Question

给定以下语言：

L<sub>1</sub> = { (ab)<sup>n</sup> | n ≥ 0 }

即L<sub>1</sub> = { ε ab, abab, ababab, abababab, ... }

问题是找出L<sub>1</sub><sup>2</sup>是什么语言。

我的猜测是它等于{ (ab)<sup>2n</sup> | n ≥ 0 }。那是对的吗？如果是这样，我该如何证明？如果没有，为什么不呢？

谢谢！

Answer 1

语言 L₁² 是 xy 形式的所有字符串的语言，其中 x ∈ L₁ 和 y ∈ L₁。请注意，x 和 y 不必是相同的字符串；它们可以独立选择。

事实上，一种选择是 y = ε，因为 ε = (ab)⁰。因此，L₁ 中的任何字符串也必须属于 L₁²，因为我们总是可以将该字符串与 ε 连接。

此外，我们可以证明 L₁² 中的任何字符串也在 L₁ 中。取任何字符串 w ∈ L₁²。对于某些字符串 x, y ∈ 它必须具有 xy 形式。 L₁。这意味着我们可以为一些自然数 n 和 m 写 w = xy = (ab)ⁿ(ab)^m。因此，w = (ab)^n+m，所以 w 在 L₁。

我们刚刚证明了 L₁ ⊆ L₁² 和那个 L₁² ⊆ L₁，由此我们得到 L₁ = L₁²。这意味着 L₁² 是与 L₁ 相同的语言。

希望这会有所帮助！