Fuss-Catalan 数字的 Julia 记忆代码

Question

从 Fuss-Catalan 系列 C{4}_n（请参阅整数序列在线百科全书OEIS A002293），我想使用记忆法计算第 n 项。我在下面编写的代码有效，但在我的笔记本电脑上 n=200 时需要大约 43 秒。有没有办法进一步加快速度？

numterms = 20
C4 = Array{BigInt}(numterms+1) # memoization dictionary
fill!(C4,-1) # -1 implies not yet computed
C4[1] = 1 # Base case for n=0, C[n+1] provides nth term

function catalan4(n,C)
    C[n+1] == -1 || return C[n+1]
    sum1 = convert(BigInt,0)
    for i in 1:n
       sum2 = convert(BigInt,0)
       for j in 1:(n-i+1)
            sum3 = convert(BigInt,0)
            for k in 1:(n-i-j+2)
                sum3+= catalan4(k-1,C)*catalan4(n-i-j-k+2,C)
            end
            sum2 +=  catalan4(j-1,C)*sum3          
       end
       sum1 +=  catalan4(i-1,C)*sum2 
    end
    C[n+1] = sum1    
    return sum1
end 

for i in 1:numterms
    println(i,"\t",catalan4(i,C4))
end    

这按预期提供：

1   1
2   4
3   22
4   140
5   969
6   7084
7   53820
8   420732
9   3362260
10  27343888
11  225568798
12  1882933364
13  15875338990
14  134993766600
15  1156393243320
16  9969937491420
17  86445222719724
18  753310723010608
19  6594154339031800
20  57956002331347120

谢谢！

Answer 1

所以，在上面 Stefan 的回答之后 - 我尝试了几件事。为了查看cuplrit 是否真的是 Julia 的 BigInt，我在上述代码的 C 版本中尝试了 GMP mpz_t 整数。事实上，当 n=200 时，它快了大约 10 倍。但是，有时我需要 n=4096，而 GMP 和 C 并不能真正帮助我减少计算时间。然后我注意到内部循环也被反复重新计算。所以我将两个内部和记下来如下，现在代码给了我 n=200，Julia 和 BigInts 的评估时间为 0.06 秒（低于 43 秒）！

numterms = 200
C4 = Array{BigInt}(numterms+1) # memoization dictionary
fill!(C4,-1) # -1 implies not yet computed
C4[1] = 1 # Base case for n=0, C[n+1] provides nth term

# memoize partial sums as well
sum2store = similar(C4)
sum3store = similar(C4)
fill!(sum2store, -1)
fill!(sum3store, -1)

function catalan4(n,C)
    C[n+1] == -1 || return C[n+1]
    sum1 = convert(BigInt,0)
    for i in 1:n
        if sum2store[n-i+1] == -1
            sum2 = convert(BigInt,0)
            for j in 1:(n-i+1)
                if sum3store[n-i-j+2] == -1
                    sum3 = convert(BigInt,0)
                    for k in 1:(n-i-j+2)
                        sum3+= catalan4(k-1,C)*catalan4(n-i-j-k+2,C)
                    end
                    sum3store[n-i-j+2] = sum3
                end
                sum2 +=  catalan4(j-1,C)*sum3store[n-i-j+2]
            end
            sum2store[n-i+1] = sum2
        end
        sum1 +=  catalan4(i-1,C)*sum2store[n-i+1]
    end
    C[n+1] = sum1
    return sum1
end

现在我不需要 Julia 的 BigInt 来快速 - 我很高兴我可以使用它。

Answer 2

我怀疑糟糕的BigInt 性能是这里的罪魁祸首。您可能想尝试Nemo，它将Flint library 用于任意精度整数，据我所知，它的效率要高得多。如果您想留在标准 Julia 中（Nemo 是基于 Julia 的，但在某些语言语义上与 Julia 不同，afaik - 它是一个计算机代数系统）并且您的数字被限制为小于 2^127，那么您可以尝试使用Int128 而不是 - 这些可以堆栈分配并保存在寄存器中，与 BigInts 不同，后者必须是堆分配的，并且 LLVM 不知道如何推理（它不能转换创建新的 BigInts变成现有的突变）。创建自定义 Int256 和 Int512 类型可能并不难，它们使用两个/四个 Int128 值来进行算术运算，尤其是在您只需要支持加法和乘法的情况下。