为什么 memoization 会给出错误的输出？

Question

我正在尝试使用递归+记忆来解决问题。它只是通过额外的start+3 步骤修改了斐波那契，只能执行K 次。这是我想出的递归代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int helper(int start, int N, int K) {
    // cout<<start<<" "<<N<<" "<<K<<"\n";
    if(start>N) return 0;
    if(start==N) return 1;
    
    int ans=0;
    ans=helper(start+1, N, K) + helper(start+2, N, K);
    if(K>0) {
        K--;
        ans=ans+helper(start+3, N, K);
    }
    
    return ans;
}

int main() {
    int T;
    cin>>T;
    while(T--) {
        int N, K;
        cin>>N>>K;
        cout<<helper(0, N, K)<<"\n";
    
    }
    
    return 0;
}

只需记住它并取模 10^9+7（问题需要我这样做），我有：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

vector<long long int> dp;
const unsigned int M = 1000000007;

int helper(long long int start, long long int N, int K) {
    // cout<<start<<" "<<N<<" "<<K<<"\n";
    if(start>N) return 0;
    if(start==N) return 1;
    if(dp[start]!=0) {
        return dp[start];
    }
    
    int ans=0;
    ans=(helper(start+1, N, K)%M + helper(start+2, N, K)%M)%M;
    if(K>0) {
        K--;
        ans=(ans%M+helper(start+3, N, K)%M)%M;
    }
    
    return dp[start]=ans;
}

int main() {
    int T;
    cin>>T;
    while(T--) {
        long long int N;
        int K;
        cin>>N>>K;
        dp.clear();
        dp.resize(N+5, 0);
        cout<<helper(0, N, K)<<"\n";
    }
    
    return 0;
}

代码完全相同，但用于记忆和取模。当我在以下输入上运行它时：

1
7 1

我在第一种情况下得到41，而在第二种情况下得到44。显然，我进行了调试，并且预计会出现一些记忆或模数问题。但是，我注意到一些 evaluations 不再被计算，由此我得出了递归调用的一些问题。请注意调用 here 和工作代码 sn-ps here 和 here 的差异。

有人可以指出我缺少什么吗？

Answer 1

您将完全基于start 的结果缓存在db 中，而完全忽略K。但是helper(0, 7, 0) 和helper(0,7,7) 需要在每个索引处缓存完全不同的数字，这取决于K 剩余的内容。所以你需要缓存index也基于K。

我看到了三种优化方法：

• 有一个缓存缓存。 db[start] 将是 std::vector，您将在该向量中使用索引 K 来访问您的项目。这会导致使用显着更多的内存。
• 放弃std::vector 并使用std::unordered_map，其中您的密钥是一对（start，K）。 （可能是std::pair<int, int>，但最好使用名称更好的结构。）这应该会使用更少的内存，而速度几乎不会损失。
• 仅在 K==0 时缓存值。这不会增加您的缓存大小，但是当K 很大时，您也会失去很多缓存优势。