为什么除数的一个函数比另一个函数快 > 3000%？

Question

我在https://www.practicepython.org/ 上做一些简单的Python 练习时，我在https://www.practicepython.org/exercise/2014/02/26/04-divisors.html 上做这个任务。

我想测试不同的方法来编写答案，我在评论字段中看到了引起我兴趣的解决方案；两个代码看起来相似，但一个比另一个快 4000%！

代码：

import time

start = time.time()

print("Fast code:")

#the slow code
def divisor(x):
    divisors = []
    for i in range(1, int(x)):
        if x % i == 0:
            divisors.append(i)
            divisors.sort()
    print(divisors)


divisor(50000000)
end = time.time()
print("Time elapsed: ")
print(end - start)

print("Fast code:")

start = time.time()

#the fast code!
def divisor2(x):
    divisors = []
    for i in range(1, int(x**.5)):
        if x % i == 0:
            divisors.append(i)
            divisors.append(x//i)
            divisors.sort()
    print(divisors)
divisor2(50000000)
end = time.time()
print("Time elapsed: ")
print(end - start)

经过的时间（慢代码）：

3.1739981174468994

经过的时间（快速代码）：

0.0010004043579101562

谁能告诉我这是怎么可能的，所以也许任何人都可以为他们的工具带带回家一些宝贵的更快的编码技能？

Answer 1

x**.5 是 x 的二分之一次方，是平方根。

都使用x = 50,000,000，第一个使用：

for i in range(1, int(x)):

五千万次循环。

第二个：

for i in range(1, int(x**.5)):

七千次循环。

在计算除​​数时可以这样做是因为它们形成了一个矩形的两侧：

 __
|  |
|  |
|__|

如果您知道区域（目标，5000 万），并且您知道一侧（柜台i），那么您可以计算另一侧。两边相同的地方是平方根，它就像一个枢轴，如果一个比那个短，那么另一个必须更长，并平衡它。也就是说，100/2 = 50 给你 2 和 50。

因此，您可以数到平方根以找到所有简短答案，然后计算出每个答案的另一面（平衡），然后您就有了所有答案。 100/10 = 10 给你 10 作为除数，并告诉你，如果你一直数到 100/50 = 2，你已经从另一边看到了，得到了 50。

这就是为什么第二个代码有：

        divisors.append(i)
        divisors.append(x//i)

在只测试一个之后，将两个值添加到列表中。

Answer 2

经典 O(n) 与 O(n^0.5)

第一个是做 50000000 次操作

第二个是执行 7000 次操作（少 7000 倍）

那么时差呢？快3000倍？有些东西没有加起来。

这里！

divisors.sort()

您在找到每个除数对后执行此操作，这是一项昂贵的操作。只需将其向左移动 2 个缩进级别（与 print 相同的级别），即可看到大约 7000 倍或更高的性能。

为什么会这样？

好吧，如果您发现 15 可以被 3 整除，那么为什么要检查每隔一个数字然后再检查 5，因为您知道如果 15 可以被 3 整除，那么它也可以被 15/3 整除。此外，任何数字都不能被任何大于其平方根的数字整除，其中结果也大于平方根。因此，长时间运行循环是没有意义的——它不会找到解决方案。由于 50000000 绝对不能被任何大于 7071.067811865475 的数字整除，这将导致另一个大于 7071.067811865475 的数字，如果我们将找到的每个除数的除法结果相加，检查 7072 和更大的数字会浪费大量时间。