计算幺半群/半群的所有中缀积

Question

简介：组中缀产品

假设我有一个小组

G = (G, *)

和一个元素列表

A = {0, 1, ..., n} ⊂ ℕ
x : A -> G

如果我们的目标是实现一个功能

f : A × A -> G

这样

f(i, j) = x(i) * x(i+1) * ... * x(j)

（我们不关心如果i > j 会发生什么）

然后我们可以通过预先计算一个前缀表

来做到这一点

m(-1) = 1
m(i) = m(i-1) * x(i)

（右边的1表示G的单位）然后将f实现为

f(i, j) = m(i-1)⁻¹ * m(j)

这是因为

m(i-1) = x(0) * x(1) * ... * x(i-1)
m(j) = x(0) * x(1) * ... * x(i-1) * x(i) * x(i+1) * ... * x(j)

等等

m(i)⁻¹ * m(j) = x(i) * x(i+1) * ... * x(j)

在充分重新关联之后。

我的问题

我们能否挽救这个想法，或者做一些不那么糟糕的事情，如果 G 只是一个幺半群，而不是一个群？

对于我的特殊问题，如果G = ([0, 1] ⊂ ℝ, *)，我们可以做类似的事情吗，即我们有来自单位行的实数，我们不能除以 0？

Answer 1

是的，如果 G 是 ([0, 1] ⊂ ℝ, *)，那么这个想法可以被挽救，从而可以在 O(log n) 时间（或更准确地说，O(log z ) 其中 z 是 A 中 a 的数量，其中 x(a) = 0)。

对于每个 i，计算乘积 m(i) = x(0)*x(1)*...*x(i)，忽略任何零（因此这些乘积总是非零）。此外，为所有零元素构建一个索引排序数组 Z。

如果 [i, j] 范围内有零，则 i 到 j 元素的乘积为 0，否则为 m(j) / m(i-1)。

要查找 [i, j] 范围内是否有零，可以在 Z 中进行二进制搜索，以找到 Z 中 >= i 的最小值，并将其与 j 进行比较。这就是额外的 O(log n) 时间成本出现的地方。

一般幺半群解

在 G 是任何幺半群的情况下，可以对 n 个乘积进行预计算，以使任意范围的乘积在 O(log(ji)) 时间内可计算，尽管它比上面更具体的情况有点复杂。

不是预先计算前缀乘积，而是计算所有 i, j 的 m(i, j)，其中 j-i+1 = 2^k 对于某些 k>=0，并且 2^k 除 i 和 j。事实上，对于 k=0，我们不需要计算任何东西，因为 m(i, i+1) 的值只是 x(i)。

所以我们需要计算 n/2 + n/4 + n/8 + ... 总产品，最多 n-1 个。

可以从这些构建块（和原始数组的元素）的 O(log_2(j-i+1)) 处构造任意区间 [i, j]：选择区间中包含的最大构建块，然后在它的任一侧附加减小大小的块，直到到达 [i, j]。然后将每个构建块的预计算乘积 m(x, y) 相乘。

例如，假设您的数组大小为 10。例如，我假设 monoid 是自然数的加法。

i: 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
x: 1  3  2  4  2  3  0  8  2  1

2: ----  ----  ----  ----  ----
   4     6     5     8     3

4: ----------- ----------
   10          13

8: ----------------------
   23

这里，2、4 和 8 行显示长度为 2、4、8 的对齐间隔的总和（如果数组的长度不是 2 的幂，则忽略剩余的位）。

现在，假设我们要计算 x(1) + x(2) + x(3) + ... + x(8)。

即 x(1) + m(2, 3) + m(4, 7) + x(8) = 3 + 6 + 13 + 2 = 24。