是否可以创建通用 ADT 的类型级表示？

Question

使用 Church 编码，可以在不使用内置 ADT 系统的情况下表示任意代数数据类型。例如，Nat 可以表示（例如在 Idris 中）为：

-- Original type

data Nat : Type where
    natSucc : Nat -> Nat
    natZero : Nat

-- Lambda encoded representation

Nat : Type
Nat = (Nat : Type) -> (Nat -> Nat) -> Nat -> Nat

natSucc : Nat -> Nat
natSucc pred n succ zero = succ (pred n succ zero)

natZero : Nat
natZero n succ zero = zero

Pair可以表示为：

-- Original type
data Pair_ : (a : Type) -> (b : Type) -> Type where
    mkPair_ : (x:a) -> (y:b) -> Pair_ a b

-- Lambda encoded representation

Par : Type -> Type -> Type
Par a b = (t:Type) -> (a -> b -> t) -> t

pair : (ta : Type) -> (tb : Type) -> (a:ta) -> (b:tb) -> Par ta tb
pair ta tb a b k t = t a b

fst : (ta:Type) -> (tb:Type) -> Par ta tb -> ta
fst ta tb pair = pair ta (\ a, b => a)

snd : (ta:Type) -> (tb:Type) -> Par ta tb -> tb
snd ta tb pair = pair tb (\ a, b => b)

等等。现在，编写这些类型、构造函数、匹配器是一项非常机械的任务。我的问题是：是否可以将 ADT 表示为类型级别的规范，然后派生类型本身（即Nat/Par），以及从这些规范中自动生成构造函数/析构函数？同样，我们可以使用这些规范来派生泛型吗？示例：

NAT : ADT
NAT = ... some type level expression ...

Nat : Type
Nat = DeriveType NAT

natSucc : ConstructorType 0 NAT
natSucc = Constructor 0 NAT

natZero : ConstructorType 1 NAT
natZero = Constructor 1 NAT

natEq : EqType NAT
natEq = Eq NAT

natShow : ShowType NAT
natShow = Show NAT

... and so on

Answer 1

索引描述并不比多项式仿函数难。考虑propositional descriptions这个简单的形式：

data Desc (I : Set) : Set₁ where
  ret : I -> Desc I
  π   : (A : Set) -> (A -> Desc I) -> Desc I
  _⊕_ : Desc I -> Desc I -> Desc I
  ind : I -> Desc I -> Desc I

π 类似于Emb 后跟|*|，但它允许描述的其余部分依赖于A 类型的值。 _⊕_ 与 |+| 相同。 ind 类似于Rec 后跟|*|，但它也接收未来子项的索引。 ret 完成描述并指定构造术语的索引。这是一个直接的例子：

vec : Set -> Desc ℕ
vec A = ret 0
      ⊕ π ℕ λ n -> π A λ _ -> ind n $ ret (suc n)

vec 的第一个构造函数不包含任何数据并构造一个长度为0 的向量，因此我们放入ret 0。第二个构造函数接收子向量的长度 (n)、A 类型的一些元素和子向量，并构造一个长度为 suc n 的向量。

构造描述的不动点也类似于多项式仿函数

⟦_⟧ : ∀ {I} -> Desc I -> (I -> Set) -> I -> Set
⟦ ret i   ⟧ B j = i ≡ j
⟦ π A D   ⟧ B j = ∃ λ x -> ⟦ D x ⟧ B j
⟦ D ⊕ E   ⟧ B j = ⟦ D ⟧ B j ⊎ ⟦ E ⟧ B j
⟦ ind i D ⟧ B j = B i × ⟦ D ⟧ B j

data μ {I} (D : Desc I) j : Set where
  node : ⟦ D ⟧ (μ D) j -> μ D j

Vec简直就是

Vec : Set -> ℕ -> Set
Vec A = μ (vec A)

以前它是adt Rec t = t，但现在术语已编入索引，因此t 也已编入索引（上面称为B）。 ind i D 携带子项i 的索引，然后应用μ D。因此，在解释向量的第二个构造函数时，Vec A 应用于子向量 n（来自 ind n $ ...）的长度，因此子项的类型为 Vec A n。

在最后的 ret i 情况下，要求构造的术语具有与预期 (j) 相同的索引 (i)。

为此类数据类型派生消除器稍微复杂一些：

Elim : ∀ {I B} -> (∀ {i} -> B i -> Set) -> (D : Desc I) -> (∀ {j} -> ⟦ D ⟧ B j -> B j) -> Set
Elim C (ret i)   k = C (k refl)
Elim C (π A D)   k = ∀ x -> Elim C (D x) (k ∘ _,_ x)
Elim C (D ⊕ E)   k = Elim C D (k ∘ inj₁) × Elim C E (k ∘ inj₂)
Elim C (ind i D) k = ∀ {y} -> C y -> Elim C D (k ∘ _,_ y)

module _ {I} {D₀ : Desc I} (P : ∀ {j} -> μ D₀ j -> Set) (f₀ : Elim P D₀ node) where
  mutual
    elimSem : ∀ {j}
            -> (D : Desc I) {k : ∀ {j} -> ⟦ D ⟧ (μ D₀) j -> μ D₀ j}
            -> Elim P D k
            -> (e : ⟦ D ⟧ (μ D₀) j)
            -> P (k e)
    elimSem (ret i)    z       refl    = z
    elimSem (π A D)    f      (x , e)  = elimSem (D x) (f  x) e
    elimSem (D ⊕ E)   (f , g) (inj₁ x) = elimSem D f x
    elimSem (D ⊕ E)   (f , g) (inj₂ y) = elimSem E g y
    elimSem (ind i D)  f      (d , e)  = elimSem D (f (elim d)) e

    elim : ∀ {j} -> (d : μ D₀ j) -> P d
    elim (node e) = elimSem D₀ f₀ e

我详细阐述了elsewhere。

可以这样使用：

elimVec : ∀ {n A}
        -> (P : ∀ {n} -> Vec A n -> Set)
        -> (∀ {n} x {xs : Vec A n} -> P xs -> P (x ∷ xs))
        -> P []
        -> (xs : Vec A n)
        -> P xs
elimVec P f z = elim P (z , λ _ -> f)

推导可判定相等性更冗长，但并不难：这只是要求π 接收的每个Set 具有可判定相等性。如果您的数据类型的所有非递归内容都具有可判定的相等性，那么您的数据类型也具有它。

The code.

Answer 2

为了帮助您入门，这里有一些表示多项式仿函数的 Idris 代码：

infix 10 |+|
infix 10 |*|

data Functor : Type where
  Rec : Functor
  Emb : Type -> Functor
  (|+|) : Functor -> Functor -> Functor
  (|*|) : Functor -> Functor -> Functor

LIST : Type -> Functor
LIST a = Emb Unit |+| (Emb a |*| Rec)

TUPLE2 : Type -> Type -> Functor
TUPLE2 a b = Emb a |*| Emb b

NAT : Functor
NAT = Rec |+| Emb Unit

这是对它们的固定点的基于数据的解释（有关更多详细信息，请参见 http://www.cse.chalmers.se/~ulfn/papers/afp08/tutorial.pdf 中的例如 3.2）

adt : Functor -> Type -> Type
adt Rec t = t
adt (Emb a) _ = a
adt (f |+| g) t = Either (adt f t) (adt g t)
adt (f |*| g) t = (adt f t, adt g t)

data Mu : (F : Functor) -> Type where
  Fix : {F : Functor} -> adt F (Mu F) -> Mu F

这是一个基于教会代表的解释：

Church : Functor -> Type
Church f = (t : Type) -> go f t t
  where
    go : Functor -> Type -> (Type -> Type)
    go Rec t = \r => t -> r
    go (Emb a) t = \r => a -> r
    go (f |+| g) t = \r => go f t r -> go g t r -> r
    go (f |*| g) t = go f t . go g t

所以我们可以做例如

-- Need the prime ticks because otherwise clashes with Nat, zero, succ from the Prelude...
Nat' : Type
Nat' = Mu NAT

zero' : Nat'
zero' = Fix (Right ())

succ' : Nat' -> Nat'
succ' n = Fix (Left n)

还有

zeroC : Church NAT
zeroC n succ zero = (zero ())

succC : Church NAT -> Church NAT
succC pred n succ zero = succ (pred n succ zero)