如何为两支球队的比赛找到最佳解决方案？

Question

给了我一张 A 队和 B 队的表格，其中每对 2 名球员都有一个号码。行代表A队球员，列代表B队球员。如果为正数，则表示A队比B队球员好，反之则为负数。

例如：

-710 415 527 -641 175 48
-447 -799 253 626 304 895
509 -523 -758 -678 -689 92
24 -318 -61 -9 174 255
487 408 696 861 -394 -67

两个团队都知道这张桌子。 现在，做的是A队报告5名球员，B队可以查看他们并为他们选择最好的5名球员。 如果我们想对球队进行比赛，我们知道每支球队都有一名队长被计算两次（就像一支球队有 6 名球员并且队长在那里两次），如果总和是正面，A队更好。

输入是数字a（行数/玩家A）和b（列/玩家B），表格如下：

6
6
-54 -927 428 -510 911 93
-710 415 527 -641 175 48
-447 -799 253 626 304 895
509 -523 -758 -678 -689 92
24 -318 -61 -9 174 255
487 408 696 861 -394 -67

输出应该是 1282。

所以，我所做的是将数字放入这样的矩阵中：

a, b = int(input()), int(input())

matrix = [list(map(int,input().split())) for _ in range(a)]

为此，我使用了 MinHeap 和 MaxHeap。我将行放入 MaxHeap 是因为 A 队想要最大的，然后我从中得到 5 个最好的 A 球员，如下所示：

for player, values in enumerate(matrix):
    maxheap.enqueue(sum(values), player)

playersA = []
overallA = 0

for i in range(5):
    ov, pl  = maxheap.remove_max()
    if i == 0: # it is a captain
        playersA.append(pl)
        overallA += ov
        
    playersA.append(pl)
    overallA += ov

B 团队知道 A 玩家使用 MinHeap 找到最好的 5 个玩家：

for i in range(b):
    player = []
    ov = 0
    for j in range(a): #take out a column of a matrix
        player.append(matrix[j][i])


    for rival in playersA: #counting only players already chosen by A
        ov += player[rival]

    minheap.enqueue(ov,i)

playersB = []
overallB = 0

for i in range(5):
    ov, pl = minheap.remove_min()
    if i == 0:
        playersB.append(pl)
        overallB += ov
        
    playersB.append(pl)
    overallB += ov

有球员，然后我从矩阵中计算总和：

out = 0
for a in playersA:
    for b in playersB:
        out += matrix[a][b]
print(out)

但是，此解决方案并不总是提供正确的解决方案。例如，它用于输入：

10
10
-802 -781 826 997 -403 243 -533 -694 195 182
103 182 -14 130 953 -900 43 334 -724 716
-350 506 184 691 -785 742 -303 -682 186 -520
25 -815 475 -407 -78 509 -512 714 898 243
758 -743 -504 -160 855 -792 -177 747 188 -190
333 -439 529 795 -500 112 625 -2 -994 282
824 498 -899 158 453 644 117 598 432 310
-799 594 933 -15 47 -687 68 480 -933 -631
741 400 979 -52 -78 -744 -573 -170 882 -610
-376 -928 -324 658 -538 811 -724 848 344 -308

但它不适合

11
11
279 475 -894 -641 -716 687 253 -451 580 -727 -509
880 -778 -867 -527 816 -458 -136 -517 217 58 740
360 -841 492 -3 940 754 -584 715 -389 438 -887
-739 664 972 838 -974 -802 799 258 628 3 815
952 -404 -273 -323 -948 674 687 233 62 -339 352
285 -535 -812 -452 -335 -452 -799 -902 691 195 -837
-78 56 459 -178 631 -348 481 608 -131 -575 732
-212 -826 -547 440 -399 -994 486 -382 -509 483 -786
-94 -983 785 -8 445 -462 -138 804 749 890 -890
-184 872 -341 776 447 -573 405 462 -76 -69 906
-617 704 292 287 464 -711 354 428 444 -42 45

所以问题是：可以这样完成还是有另一种快速算法（ O(n ** 2 ) / O(n ** 3) 等），或者我只是尝试了所有可能的组合在 O(n!) 时间复杂度中使用蛮力？

Answer 1

有一种方法可以通过多项式复杂度来做到这一点。

为了说明为什么您的解决方案不起作用，让我们考虑另一个更简单的问题。假设每支球队只选择2名球员，没有队长。

我们也取一个简单的分数矩阵：

1 1 1 2 1
1 1 1 1 1
0 3 0 2 0
0 0 0 0 4
0 0 0 0 4

在这里您可以看到 A 队没有获胜的机会（因为没有负数），但他们仍然会尽力而为。他们应该选谁？

使用您的算法，A 队应该选择他们最好的球员，他们的排名将是：

pa0

如果他们选择 pa3 和 pa4，他们的得分都是 4（这很糟糕，但没有 pa0 的 6 分那么差），B 队将赢 8 分（他们将选择 pb4 和另一个没有得分的玩家）没关系）。

另一方面，如果 A 队选择了 pa0 和 pa1（根据你的指标，它们比 pa3 和 pa4 差），那么最好的 B 队可以赢得 5 分（如果他们选择 pb3 和任何其他玩家）

基本上，您的近似没有考虑到 B 队只能选择两名球员，因此无法利用 pa0+pa1 的弱点，而它可以轻松利用 pa3+pa4 的弱点。

更好的解决方案是让 A 队仅通过考虑他们的 2 个最差分数（如果要选择 5 个玩家，则为 5 个）来评估每个玩家的分数：这将使排名如下：

pa2

这仍然是一个近似值：像 pa2+pa3 这样的一些组合实际上并不像听起来那么糟糕，再一次，弱点已经传播到 B 团队无法全部利用它们（尽管对于这个例子来说近似产生最好的结果）。

我们真正需要选择的不是两个最好的球员，而是两个球员的最佳组合，遗憾的是除了尝试所有的 $s!/(k!(sk)!) $ s 中 k 个玩家的组合（团队规模）。不过，还不错，因为 k=2 只是 $s*(s-1)/2$ 而 k=5 是 $s*(s-1)(s-2) em>(s-3)*(s-4)/5!$，尽管在 O(s^5) 中，但复杂度仍然是多项式。将队长添加到组合中只会将组合的数量乘以 k。它还需要改变如何计算分数，但你应该能够找到。

既然 A 队已经选择了他们的球员，那么 B 队就可以轻松地选择他们的球员了。这更简单，因为这里每个玩家都可以单独选择。

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最后一个算法如何与开头提供的分数矩阵一起工作的示例。

A队有10种可能的组合：pa0+pa1、pa0+pa2、pa0+pa3、pa0+pa4、pa1+pa2、pa1+pa3、pa1+pa4、pa2+pa3、pa2+pa4、pa3+pa4。他们各自的分数是：5、8、7、7、7、6、6、7、7、8。

最好的组合是pa0+pa1，所以这就是他们发送给B队的东西。

B 队计算每个球员对 pa0+pa1 的得分：pb0:2, pb1:2, pb2:2, pb3:3, pb4:2。 pb3是最好的，其他都是平等的，因此B队发送pb3+pb4（例如），“答案”是5。