快速 2D 有符号距离

Question

我需要一种方法来计算点与多边形边界之间的距离。

• 如果点在多边形之外，距离为正
• 如果点在多边形内，距离将为负数

这被称为Signed Distance Field/Function的SDF

多边形本身由多条路径组成，可以是凹的，有孔，但不能自相交，并且有很多顺时针排列的点（10000+）。

我找到了一些existing solutions，但他们需要针对每个多边形边缘测试该点，这不够有效。

这是产生的视觉结果（绿色为正，红色为负）：

所以我尝试了以下方法：

将多边形边放在四叉树中

要计算距离，请找到离该点最近的边，并根据该点在边的哪一侧更改符号。

遗憾的是，当点与多个边缘（例如角）的距离相同时，它不起作用。

我已经尝试添加条件，如果一个点位于所有边的外侧，则它位于多边形之外，但它不能解决内部问题，反之亦然。

想不通...

如果有人好奇，这个想法是稍后使用一些着色器来生成这样的图像：

编辑

为了澄清，这里是拐角处出现的问题的特写：

• 对于区域A中的所有点，最近的段是S1，所以没问题
• 对于区域E中的所有点，最近的段是S2，所以也没有问题
• 区域 B、C 和 D 中的所有点与 S1 和 S2 的距离相同
  • 区域 B 中的点位于 S1 的外侧和 S2 的内侧
  • 区域 D 中的点位于 S1 的内侧和 S2 的外侧
  • 区域 C 中的点位于两个段的外侧

人们可能会认为一个点必须位于两个段的内侧才能被视为“在”。它解决了角度 180°

最糟糕的是，两个或多个角可以共享相同的位置（例如第一张图像下部的四个角）...

Answer 1

对于闭合、不相交和方向良好的多边形，您可以通过将工作限制为基于this paper 的特征挤压来加快有符号距离场的计算。

如您在图像中所示（区域 A 和 E），离线最近的点位于边缘拉伸内。 B、C、D中的点最接近的特征不是边而是顶点。

算法是：

• 为每个边和顶点构造负和正挤压
• 对于每个点，确定它们所在的突出部分并找到正确符号的最小幅度距离。

这项工作被简化为多边形中的点测试和到线和点的距离计算。为了减少工作量，您可以考虑使用相同尺寸的有限拉伸来定义计算距离值的薄壳。这似乎是您的光晕着色示例所需的功能。

虽然您仍然需要迭代所有特征，但两种挤压类型始终是凸的，因此您可以提前退出四叉树、半平面测试和其他优化，尤其是在挤压距离有限的情况下。

边缘的拉伸是表面法线方向上的矩形（内部距离为负法线）。

来自1：

顶点的挤压是楔形，其边是在该顶点相交的边的法线。根据边之间的角度，顶点具有正或负拉伸。由于空间被边缘拉伸覆盖，平面顶点将没有拉伸。

来自1：

Answer 2

我希望这能解决你的问题。

这是在 Python 中实现的。

首先，我们使用 imageio 将图像作为数组导入。我们需要使用您的图像的修改版本（我将内部区域填充为白色）。

然后，我们将 RGBA 矩阵转换为具有 0 轮廓的二进制矩阵来定义您的界面（代码 sn-p 中的 phi）

这是来自下面 sn-p 的 phi（内部区域值 = +0.5，外部区域值 = -0.5）：

import imageio
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import skfmm

# Load image
im = imageio.imread("0WmVI_filled.png")
ima = np.array(im)

# Differentiate the inside / outside region
phi = np.int64(np.any(ima[:, :, :3], axis = 2))
# The array will go from - 1 to 0. Add 0.5(arbitrary) so there 's a 0 contour.
phi = np.where(phi, 0, -1) + 0.5

# Show phi
plt.imshow(phi)
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.colorbar()
plt.show()

# Compute signed distance
# dx = cell(pixel) size
sd = skfmm.distance(phi, dx = 1)

# Plot results
plt.imshow(sd)
plt.colorbar()
plt.show()

最后，我们使用 scikit-fmm 模块来计算有符号距离。

这是生成的有符号距离场：