多路分区的变化

Question

我一直在从事一些项目，偶然发现了一个问题，它是多路分区问题的变体。我们可以将问题表述如下：

给定一个由 n 个整数组成的集合 S，以及一个由 k 个和组成的集合 K，求 >k 个 S 的子集，使得第 i 个子集具有 K 的第 i 个元素的和。

这并不严格要求对集合 S 进行分区，因为某些元素可能未被使用。

我的天真尝试是首先遍历 S 的元素，如果该元素与某些总和匹配，则形成一个单元素子集。然后我会按升序对 S 的元素进行排序，并对元素求和，直到它们达到给定的总和（子集总和问题）。但是，这经常失败。

解决方案不必是准确的。问题的性质允许每个总和的误差高达 10%。但是，它必须相当快。为了提供有关输入数据的一些信息，n 预计约为数百万，而 k 预计在 1 到 10000 之间。该算法应该在 10 秒的范围内运行（它将在 Web 界面上使用，用户不应等待超过一两分钟）。

如果我没记错的话，这是一个 NP 完全问题，但我不需要一个精确的解决方案，只是一个粗略的近似。感谢任何帮助，因为我找不到任何接近我需要的东西，除了多路分区问题，这里不能完全使用。

谢谢。

Answer 1

我知道这个问题很老，但我发现这段代码做的事情非常相似（它是针对集合的精确 N 总和）。

https://github.com/ephemerant/poe-vendor-optimizer/blob/master/functions.js

它在 javascript 中，但可以适应其他语言，在我的情况下，我已将其更改为 java。只需要为递归调用做一个新的 ArrayList(_a) 否则它会在不同的递归之间改变同一个 List。

这只会做一组给定的 N，你必须在循环中调用它，直到它返回一个空列表（意味着没有确切的 N 总和）

function smallest(N, A) {
  var n = sum(A);  // Largest possible result
  var a = A;       // Largest possible array

  if (N <= 0 || n < N)  // Is it impossible?
    return [];

  for (var i = 0; i < A.length; i++) {
    if (n == N)  // Are we already perfect?
      return a;

    var x = A[i];  // Element in A

    var _a = A.slice(i + 1);  // Subarray to the right of x

    _a = smallest(N - x.quality, _a);  // Recurse
    _a.unshift(x);             // Add x to beginning

    var _n = sum(_a);  // Sum of the subarray

    if (_n < n && _n >= N) {  // Is this subarray better?
      n = _n;
      a = _a;
    }
  }

这是我的 Java 代码：

private List<SkillGem> smallest(int N, List<SkillGem> A) {
    int n = A.stream().mapToInt(SkillGem::getQuality).sum(); // Largest possible result
    List<SkillGem> a = A; // Largest possible array
    if(N <= 0 || n < N) return new ArrayList<>(); // Is it impossible?

    for (int i = 0; i < A.size(); i++) {
        if (n == N)  // Are we already perfect?
            return a;
        if(i+1 > A.size()) return new ArrayList<>();

        SkillGem x = A.get(i); // Element in A
        List<SkillGem> _a = A.subList(i+1, A.size()); // Subarray to the right of x
        _a = smallest(N - x.getQuality(), new ArrayList<>(_a));  // Recurse
        _a.add(0, x); // Add x to beginning

        int _n = _a.stream().mapToInt(SkillGem::getQuality).sum();  // Sum of the subarray

        if (_n < n && _n >= N) {  // Is this subarray better?
            n = _n;
            a = _a;
        }
    }
    return a;
}