硬币收集2人游戏

Question

考虑一个包含 n 个正整数值的硬币和两个玩家 player1 和 player2 的数组。每个玩家轮流拿硬币，直到剩下硬币。那个有
最大值获胜。玩家可以拿走的硬币数量由变量 S 初始 =1 控制，玩家可以从左边连续拿走 k 个硬币，其中 1我们必须找到最大数量
玩家1可以在游戏中获得的硬币价值
例如：如果输入是 [3,6,8,5,4]，输出应该是 12，因为如果玩家 1 拿了一个硬币，玩家 2 拿了 2 个硬币，然后玩家 1 重新拿了 2 个硬币。所以player1
将有 3 + 5 + 4 = 12。
我的想法：我觉得可以使用动态编程来实现它，但我找不到子问题或最优子结构。条件看起来非常复杂。关于如何解决这个问题的任何想法？

Answer 1

子问题通过以下方式识别：

• 已拿走的硬币数量。否则输入：coins 数组中的索引，可以从中取出下一个硬币。
• S的值。

由于可以取出的硬币数量和S的值永远不会超过硬币数量?，我们可以使用大小为?的矩阵来记忆结果。

轮到记忆并不重要：无论轮到谁，他们在相同的状态下都有相同的机会。因此，如果我们遇到玩家 1 的状态并评估它（最大化硬币价值），然后遇到相同的状态，但玩家 2 可以玩，那么之前的结果可以应用于玩家 2。

算法可以使用递归。基本情况发生在当前玩家可以决定拿走所有剩余的硬币时。当然，这永远是最好的选择。

对于递归情况，可以播放当前玩家的所有可能动作。对于每一个对手的最佳得分都可以通过递归调用得出。当前玩家的最佳走法是让对手的最佳得分最小化。

这是 JavaScript 中的一个实现。运行这个 sn-p 将解决您在问题中提出的问题，以及 [1,1,1,1,1,1,1]：

function solve(coins) {
    let n = coins.length;
    // Preprocessing: for all possibly suffix arrays, calculate the sum of the coins
    let sums = coins.slice(); // copy 
    for (let i = n - 2; i >= 0; i--) {
        sums[i] += sums[i + 1]; // backwards running sum
    }

    // 2D Array for memoization (dynamic programming)
    let dp = []; // n x n matrix, initially filled with -1
    for (let i = 0; i < n; i++) dp.push(Array(n).fill(-1));

    return recur(0, 1);
    
    function recur(start, s) {
        if (n - start <= 2*s) return sums[start]; // base case: take all remaining coins
        if (dp[start][s] == -1) { // sub problem was not encountered before
            let minOpponentScore = Infinity;
            // For each possible move, get best counter move from opponent
            for (let k = 1; k <= 2*s; k++) {
                // We'll take the move where the best counter move was the worst
                minOpponentScore = Math.min(minOpponentScore, recur(start + k, Math.max(k, s)));
            }
            dp[start][s] = sums[start] - minOpponentScore;
        }
        return dp[start][s];
    }
}

console.log(solve([3,6,8,5,4]));
console.log(solve([1,1,1,1,1,1,1]));