用最高分做平衡括号

Question

问题：

给定一个整数数组 A 和分数 S = 0。对于数组中的每个位置，您可以执行以下操作之一：

• 放置一个“(”。分数将是 S += Ai
• 放置一个“)”。分数将是 S -= Ai
• 略过

为了使括号平衡，您可以获得的最高分是多少？

限制：

• |艾|
• 数组 A 的大小：

P/S：

我尝试了很多方法，但我最好的方法是使用 O(3^n) 的蛮力。有没有办法在 O(n.logn) 或更短的时间内解决这个问题？

Answer 1

您可以使用二维数组highest_score在O(n²) 时间内完成此操作，其中 highest_score[i][b] 是在位置 i 与 b 之后可获得的最高分数 开放括号尚未关闭。每个元素 highest_score[i][b] 仅取决于 highest_score[i -1][b-1]、highest_score[i-1][b]和highest_score[i-1][b+1]（当然还有A[i])，因此每一行 highest_score[i] 可以在 O(n) 时间内从上一行highest_score[i-1]，最后的答案是highest_score[n][0]。

（注意：使用 O(n²) 空间，但由于 highest_score 的每一行取决于仅在上一行，您实际上可以通过重用行在 O(n) 中做到这一点。但渐近运行时复杂度将是相同的。）

Answer 2

您可以在O(n log n) 时间内使用最大堆来执行此操作。

首先，消除操作中的不对称性。假设我们以-sum(A) 的运行总和开始，而不是有左方括号和右方括号，即所有右方括号。现在，对于 A 中的每个元素，我们可以将其添加到我们的运行总和中，可以是 0、1 或 2 次，分别对应于留下一个封闭的括号、删除封闭的括号或添加一个开放的括号。平衡约束现在表示，在处理了第一个 k 元素后，我们有：

1. 至少添加了k，对于所有整数k，
2. 我们增加了length(A) 的总数。
3. 我们已将最后一个元素添加到我们的总和中，无论是零次还是一次。

假设在处理完第一个k 元素后，我们添加了k，并且我们拥有所有此类配置的最高分。我们可以将其扩展到第一个 k+1 元素的最大分数配置，并贪婪地添加 k+1。我们有一个新的选择，可以将k+1-th 元素添加到我们的总和中最多两次，但现在最多只能添加一次。只需选择尚未两次添加到总和中的最大可见元素，并将其添加到总和中：这也必须是最大分数配置，或者我们可以显示旧配置也不是最大的。

Python 代码：（所有值都取反，因为 Python 只有一个最小堆）

def solve(nums: List[int]) -> int:
    """Given an array of integers, return the maximum sum achievable.
    We must add k elements from nums and subtract k elements from nums,
    left to right and all distinct, so that at no point have we subtracted
    more elements than we have added.
    """

    max_heap = []
    running_sum = 0

    # Balance will be 0 after all loop iterations.
    for value in nums:
        running_sum -= value  # Assume value is subtracted
        heapq.heappush(max_heap, -value)  # Option to not subtract value
        heapq.heappush(max_heap, -value)  # Option to add value

        # Either un-subtract or add the largest previous free element
        running_sum -= heapq.heappop(max_heap)

    return running_sum