这个问题有重叠的子问题吗？

Question

我正在尝试解决 LeetCode.com 上的this question：

给你一个 m x n 整数矩阵 mat 和一个整数目标。从矩阵的每一行中选择一个整数，以使目标与所选元素之和之间的绝对差异最小化。返回最小绝对差。 （两个数 a 和 b 的绝对差就是 a - b 的绝对值。）
所以对于输入mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]，target = 13，输出应该是0（因为1+5+7=13）。

我referring的解决方案如下：

int dp[71][70 * 70 + 1] = {[0 ... 70][0 ... 70 * 70] = INT_MAX};
int dfs(vector<set<int>>& m, int i, int sum, int target) {
    if (i >= m.size())
        return abs(sum - target);
    if (dp[i][sum] == INT_MAX) {
        for (auto it = begin(m[i]); it != end(m[i]); ++it) {
            dp[i][sum] = min(dp[i][sum], dfs(m, i + 1, sum + *it, target));
            if (dp[i][sum] == 0 || sum + *it > target)
                break;
        }
    } else {
        // cout<<"Encountered a previous value!\n";
    }

    return dp[i][sum];
}
int minimizeTheDifference(vector<vector<int>>& mat, int target) {
    vector<set<int>> m;
    for (auto &row : mat)
        m.push_back(set<int>(begin(row), end(row)));
    return dfs(m, 0, 0, target);
}

我不明白这个问题是如何通过动态编程来解决的。这些状态显然是i 行和sum 行（从0 行到i-1 行）。鉴于问题约束是：

m == mat.length
n == mat[i].length
1 <= m, n <= 70
1 <= mat[i][j] <= 70
1 <= target <= 800

我的理解是，我们永远不会遇到以前遇到过的sum（所有值都是正数）。即使是我添加的调试cout 语句也不会在问题中给出的示例输入上打印任何内容。

动态规划如何应用在这里？

Answer 1

这个问题是 NP-hard，因为 0-1 背包问题很容易归结为它。

这个问题还有一个动态规划解，类似于0-1背包的解：

1. 找出您可以用第一行中的数字（即第一行中的数字）得出的所有总和：
2. 对于随后的每一行，将第 i 行中的所有数字添加到所有先前可访问的总和中，以找到在 i 行之后可以得到的总和。

如果您需要能够重新创建通过矩阵的路径，那么对于每个级别的每个总和，请记住上一级别的前一个。

确实存在重叠的子问题，因为通常有多种方法可以得到很多总和，而您只需要记住并从其中一种继续。

这是你的例子：

sums from    row 1:  1, 2, 3
sums from rows 1-2:  5, 6, 7, 8, 9
sums from rows 1-3:  12, 13, 14, 15, 16, 17, 18

如您所见，我们可以得出目标总和。有几种方法：

7+4+2, 7+5+1, 8+4+1

像 15 这样的一些目标有更多方法。随着矩阵大小的增加，重叠量趋于增加，因此这种解决方案在许多情况下都相当有效。总复杂度为 O(M * N * max_weight)。

但是，这个是一个 NP-hard 问题，所以这并不总是容易处理的——max_weight 会随着问题的大小呈指数增长。