为什么弗洛伊德战争只使用一个距离矩阵？

Question

我阅读了弗洛伊德 Warshall 算法的伪代码 1 let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity) 2 for each vertex v 3 dist[v][v] ← 0 4 for each edge (u,v) 5 dist[u][v] ← w(u,v) // the weight of the edge (u,v) 6 for k from 1 to |V| 7 for i from 1 to |V| 8 for j from 1 to |V| 9 if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j] 10 dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j] 11 end if 但它只是使用一个 dist 矩阵来节省距离。 我认为应该有 n 个 dist 矩阵，其中 n 是顶点数， 或者至少我们需要两个 dist 矩阵。 1 存储顶点 k-1 内的当前最短路径， 另一个存储顶点 k 内的最短路径， 然后第一个存储 k+1 内的最短路径， …… 对于顶点 k-1 内的距离，我们如何才能将顶点 k 内的新最短路径距离存储在原始矩阵中？

这张图显示我们需要 D0, D1, D2....D(n)

Answer 1

你是对的，原始公式要求步骤k的计算需要使用步骤k-1的计算：

如您所说，如果第一个矩阵用于存储来自步骤k-1 的值，则可以轻松组织第二个矩阵用于存储来自k 的值，第一个矩阵再次用于存储来自k+1 的值等等。

但是，如果我们在更新值时使用相同的矩阵，在上面的公式中，如果索引 i,k 的值在当前轮 k 中已经更新，我们可能会不小心使用 而不是 ，或者如果索引k,j 的值已更新，我们可能会得到 而不是。这会不会违反算法，因为我们使用了错误的递归更新公式？

嗯，不是真的。请记住，Floyd-Warshall 算法处理“无负循环”约束，这意味着不存在边缘总和为负值的循环。这意味着对于任何k，从节点k 到节点k 的最短路径是0（否则这意味着从k 到k 的路径总和为负价值）。所以根据定义：

现在，我们只取第一个公式，将j 替换为k：

然后让我们将同一个公式中的“i”替换为“k”：

所以，基本上， 将具有与 相同的值， 将具有与 相同的值，因此这些值是否在循环期间更新并不重要'k' ，因此您可以在读取时更新相同的矩阵而不会破坏算法。

Answer 2

您在这里部分正确。

Floyd Warshall 算法的输出（即 NxN 矩阵）无助于重建任意两个给定顶点之间的实际最短路径。

如果我们保留一个父矩阵 P，这些路径可以恢复，这样它就可以存储用于每个顶点对 (x, y) 的最后一个中间顶点。假设这个值为 k。

x 到 y 的最短路径是 x 到 k 的最短路径与 k 到 y 的最短路径的串联，可以在给定矩阵 P 的情况下递归重构。

但是，请注意，大多数全对应用程序只需要生成的距离矩阵。这些工作正是 Floyd 算法的设计目的。