什么时候可以实际应用主定理？

Question

我对此感到非常沮丧。

在 CLRS 第 3 版第 95 页（第 4.5 章）中，它提到像

T(n) = 2T(n/2) + n lg n

无法用主定理解决，因为差异

f(n)/n^(log_b(a)) = (n lg n)/n^1 = lg n

不是多项式。

但后来我遇到像this 这样的页面，在页面底部，它提到了完全相同的重复，并说它可以用主定理解决，因为它属于“扩展案例 2”即使差异是非多项式的。它变为n lg^2 n（将f(n) 上的日志因子加一）。

然后我遇到像 this 这样的页面，在示例 (e) 中似乎是扩展案例 2 的明确应用（重复是 T(n) = 4T(n/2) + n^2 lg n），但随后解决方案不是 n^2 log^2 n，而是 @987654329 @！是我错了还是论文错了？

谁能把矛盾说清楚，什么时候可以使用主定理，什么时候不能使用？多项式差分检查何时重要，何时不重要？扩展案例 2 是否可用，或者它实际上违反了什么？

编辑：

我尝试直接从第二篇论文中解决递归（e），我得到：

T(n) = n^2 lg^2(n)/2 + n^2 lg(n)/2

这不是大θn^2 lg^2 n吗？

Answer 1

书上说不能用Case 3解决：

即使它看起来具有正确的形式：...您可能会错误地认为案例 3 应该适用

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但是，这个递归公式可以使用主定理解决，案例 2。

T(n) = 2T(n/2) + nlgn:

我们定义：

a = 2, b = 2, f(n) = nlgn

使用Master theorem case 2：

c = log_2(2) = 1
k = 1

而f(n) 确实在Theta(nlogn) 中。

所以，掌握定理案例 2 的所有条件都适用，我们可以推断：

T(n) 在Theta(n^c * log(n)^(k+1)) = Theta(n*log(n)^2)中

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长话短说，Master theorem 有 3 个案例。每个案例都有其适用的先决条件。案例 3 有更复杂的先决条件，因为它也需要收敛。
由于案例 3 的先决条件不适用于此公式，因此您不能使用案例 3。但是，案例 2 的先决条件 - 确实适用，您可以使用它。