在没有大师定理的情况下求解递归方程

Question

所以，在之前的考试中，我被要求在不使用主定理的情况下求解以下递归方程：

T(n)= 9T(n/3) + n^2

不幸的是，我在考试中无法弄清楚，所以我使用 Master's Theorem 解决了它，以便知道答案（但是，当然，我没有得到这个问题的学分），现在我想知道如何在没有硕士定理的情况下解决它，因为在期末考试中，会有类似的问题。

如果有人能提供一步一步的解决方案（附解释），那就太好了，谢谢！

Answer 1

诀窍是不断扩大，直到你看到模式。

T(n) 
= 9 T(n/3) + n^2 
= 9(9T(n/3^2) + n^2/3^2) + n^2 
= 9^2 T(n/3^2) + 2n^2
= 9^2 (9 T(n/3^3) + n^2/3^4) + 2n^2
= 9^3 T(n/3^3) + 3n^2
= ...
= 9^k T(n/3^k) + kn^2

这一直持续到 k 达到 3^k = n。

假设T(1)=1，你得到 T(n) = n^2 +kn^2 = n^2 + log_3(n) n^2.

所以它看起来像T(n) = O(n^2 logn)，除非我犯了错误。