素数长度的所有连续子数组的最大和

Question

我最近在一次采访中被问到这个问题，

给定一个非负整数数组，找出 可以得到的最大累积总和，使得所有的长度 参与子数组是一个素数。我尝试使用动态编程提出解决方案，但不幸的是无法解决。

例如：如果数组是 [9,8,7,6,5,4,3,1,2,2] 它应该返回 46 （子数组的总和 [ 9,8,7,6,5,4,3] 长度为 7 和 [2,2] 长度为 2)。您不能将 [9,8,7,6,5,4,3] 和 [1,2,2] 组合起来，因为它会产生一个长度为 10 且非素数的连续子数组（幂等性）。

谁能解释如何使用 DP 解决这些问题？谢谢。

Answer 1

你可以做什么：

• 取列表的长度并返回，直到找到一个素数
• 获取元素窗口并求和
• 检查它是否是最大和，如果是，存储它
• 转到下一个窗口

这是因为所有整数都是正数的限制，否则它不会起作用。

基本上是这样的（非常粗略，在伪python中，显然没有经过测试）：

input_list = (8, 1, 3, 4, 5, 2)
list_size = len(input_list)

while (list_size):
    if (is_prime(list_size)):
        window_size = list_size
        break
    list_size--

max_sum = -1
for i in xrange(0, list_size - window_size):
    current_sum = sum(input_list[i:i+window_size])
    if (max_sum < current_sum):
        max_sum = current_sum

print max_sum

Answer 2

像这样的（大约）O(n * n / log n) 时间、O(n) 空间、DP 怎么样？

让f(i) 表示索引i 的最大总和，其中a[i] 要么被排除在连续子集中，要么是素数长度子集的最后一个。那么：

f(i) = sum(a[0]...a[i]) if (i + 1) is prime, otherwise
  max(
    // a[i] excluded
    f(i-1),
    f(i-2),

    // a[i] is last of a subset
    sum(a[i - primes[j] + 1]...a[i]) + f(i - primes[j] - 1) 
      for primes[j] <= i
  )

（对时间间隔求和可以在O(1) 时间内完成，对前缀和进行O(n) 预处理。）

Answer 3

由于其他人已经解决了非负整数的问题。

但是如果你也有 -ve 数字，那么这个算法也可以工作。 我认为您必须稍微调整Kadane's Algo。

以下是修改后的 Kadane 算法的更改。所有标记为 ** 的行都是更改。

Initialize:
    max_so_far = 0
    max_ending_here = 0
   ** MAX_SO_FAR_FOR_PRIMES =0
   ** SUB_ARRAY_SIZE = 0

Loop for each element of the array
   max_ending_here = max_ending_here + a[i]
   ** SUB_ARRAY_SIZE = SUB_ARRAY_SIZE + 1 // since a[i] included in subarray, increase sub_array_size
  if(max_ending_here < 0)
            max_ending_here = 0
   **         SUB_ARRAY_SIZE = 0  
  if(max_so_far < max_ending_here)
            max_so_far = max_ending_here
   ** if(MAX_SO_FAR_FOR_PRIMES < max_ending_here && isPrime(SUB_ARRAY_SIZE)) // comparing when SUB_ARRAY_SIZE is Prime.
   **      MAX_SO_FAR_FOR_PRIMES = max_ending_here.    

return MAX_SO_FAR_FOR_PRIMES

基本上，再取一个变量MAX_SO_FAR_FOR_PRIMES，它保留了迄今为止素数子数组的最大和子数组。

还存储SUB_ARRAY_SIZE，它在循环期间随时存储子数组的大小。

现在只要SUBARRAY_SIZE 是质数，就将MAX_SO_FAR_FOR_PRIMES 与max_ending_here 进行比较。并相应地更新 `MAX_SO_FAR_FOR_PRIMES1。