在没有任何临时变量的情况下以 O(n) 排序

Question

我需要设计一种算法来对仅包含数字 -1,0,1 的数组进行排序，而不使用任何临时变量或数组并且仅使用交换我想出了以下方法我不确定如果是 O(n)。

#include <stdio.h>
#define MAXSIZE 10

int main()
{
    int array[MAXSIZE];
    int i, j, num = 8, temp;

    int list[] = {-1,0,-1,0,1,1,0,1};

    int size = sizeof(list)/sizeof(list[0]);
    for (int i = 1; i < size; i++) {

        if (list[i] < list[i - 1]) {
            list[i] = list[i] + list[i - 1];
            list[i - 1] = list[i] - list[i - 1];
            list[i] = list[i] - list[i - 1];
            i = 0;
        }
    }

    printf("Sorted array is...\n");
    for (int i = 0; i < size; i++)
    {
        printf("%d\n", list[i]);
    }
}

Answer 1

算法绝对不是 O(n)。
当您进行交换时，您将 i 设置为 0。最坏的情况是 O(n^2)。

Answer 2

@RSahu 正确说明您的算法的原因是，您将计数器重置为 0，这意味着您可以执行与 1+2+...+n 迭代一样多的操作。

这是一个展示处理数组的线性时间的小例子：

#include <iostream>
#include <array>

using namespace std;

int main() {
    array<int,10> A{-1, 0, -1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, -1};

    int i=0,j=0, k=9;
    while(j!=k) {
        if(A[j] == 0) {
            ++j;
        }
        else if(A[j] == -1) {
            swap(A[i], A[j]);
            ++i; ++j;
        }
        else {
            swap(A[j], A[k]);
            --k;
        }
    }

    for(auto ai : A)
        cout << ai << " ";
    cout << endl;
}

你可以看到它直播there。

它是如何工作的？我们维护三个计数器i、j 和k，其不变量为：

• 范围内的所有项目：[0, i) 是 -1
• 范围内的所有项目：[i, j) 是 0
• 范围内的所有项目：(k, n-1) 是 +1

其中[ 表示包含范围，) 或( 表示排除范围。

最初

i=j=0 和“k=n-1”。不变量受到尊重。

第一种情况

if(A[j] == 0) {
    ++j;
}

A[j] 的值为 0，因此我们可以增加 j 并且不变量仍然成立。

第二种情况

else if(A[j] == -1) {
    swap(A[i], A[j]);
    ++i; ++j;
}

由于i 是一个独占绑定，我们将-1 添加到-1 的先前范围，并且需要增加i。如果[i, j) 范围不为空，则0 已复制到位置j，我们必须增加j。如果范围为空，则我们有i==j，并且随着我们增加i，我们还必须增加j 以保持不变。我们可以得出结论，在这一步之后，不变量仍然成立。

第三种情况

else {
    swap(A[j], A[k]);
    --k;
}

A[j] 是0，我们可以将其与A[k] 的值交换并减少k 并且不变量将保持不变。

终止和正确性

最后一点是证明程序将终止。每个步骤： - 增加j - 递减k 所以j和k之间的距离每走一步就会减1。

j 和k 之间的距离最初是n-1，每一步递减。所以最多会有n-1个步骤。每一步都进行一次交换。最多有n-1 交换。

在程序结束时，不变量将保持：

• 从0 到i 不包括在内，所有-1
• 从i 到j==k 不包括在内，所有0
• 从j==k 到n-1 不包括在内，所有+1