当重叠很少时找到重叠间隔

Question

我有一个巨大的数据库表，其中有 n 个整数间隔（例如 {1-5}、{4-16}、{6434-114343}），我需要找出 哪个间隔相互重叠。有很多similar questions on SO，但不同的是我需要分别为每个区间返回重叠区间的集合。

      ------------------ A -------------------
    ------ B -------               ----- D -----
          --------- C --------- 

对于本例，输出为A:{B,C,D} B:{A,C} C:{A,B} D:{A}

最坏的情况是，所有区间可能相互重叠，产生大小为 O(n²) 的输出。这并不比简单的解决方案更好（比较每对间隔）。然而，在实践中，我知道我的间隔很少会与其他间隔重叠，而且当它们重叠时，最多只有 5 个其他间隔。

鉴于此信息，我应该如何解决问题？ （最理想的情况是，我想要一个 SQL 查询解决方案，因为数据在数据库中，但我认为只有常规的算法解决方案是可能的。）

Answer 1

针对您的问题的典型编程解决方案是在所有范围内构建一个interval tree，然后对每个间隔执行一次查找，从而为您提供O(log n) 时间中所有相交间隔的列表。下面是这样一个区间树的样例：

不过，在您的情况下，您也可以将主键存储在树节点中，因此给定以下日期（查找重叠日期是可以使用区间树解决的常见问题）

你的树看起来像这样

因此，如果我想知道哪些区间与 C 重叠，我会搜索 C 的起点 1843，然后树告诉我，该值仅在区间 C 内，这是我正在测试的区间，所以我可以忽略它。然后我搜索 C 的结尾，1907，树告诉我，它在区间 A、B 和 C 中，我可以再次忽略 C，因此我的结果集是 A 和 B。

我承认，在这种树中查找并不像人们想象的那么直观。我将在这里尽可能地解释它：您从顶部根节点开始，并在每个节点决定向左或向右，直到您遇到离开节点（一个不再有子节点的节点）。如果节点值大于您正在搜索的值，则向左走。如果节点值小于您要搜索的值，则向右走。如果您的节点值恰好等于您正在搜索的值怎么办？这取决于！如果你在寻找一个区间的开始，相等的值意味着你向右走，如果你在寻找一个区间的结束，相等的值意味着你向左走。这个非常重要。到达离开节点后，您就完成了，并且您在前往该离开节点的途中在 任何节点 中找到的所有间隔，包括存储在离开节点本身中的间隔（如果有）组成您的结果集，而不仅仅是存储在离开节点中的间隔。这意味着您必须收集在执行搜索时遇到的任何间隔。

现在回到您最初的问题：所有这些都可以在 SQL 中完成吗？是的，这是可以做到的。不过，我不确定你是否真的想这样做。您可以将当前的 SQL 表数据转换为表示区间树的 SQL 表，然后直接在该区间树表中执行查找。至少我找到了一个正是这样做的人。他试图找到涵盖给定日期的所有日期范围，而不必将该日期与数据库中的所有现有范围进行比较：

A Static Relational Interval Tree

他甚至使用了一个绝妙的技巧来优化查找的速度，显着降低两者的 CPU 使用率，构建查找表并执行实际的查找（这使得整个事情变得相当复杂）。

Answer 2

构建一个区间开始和结束的排序序列，然后遍历它，每次更新当前区间列表，报告任何新发现的交叉点。

类似这样的：

std::vector<TBorder> borders;
for(auto i=intervals.begin();i!=intervals.end();++i)
{
    borders.push_back(TBorder(i.Start(),Start));
    borders.push_back(TBorder(i.End(),End));
}
std::sort(borders.begin(),borders.end());
std::set<int> currentIntervals;
for(auto b=borders.begin();b!=borders.end();++b)
{
    if(b.IsEnd())
        currentIntervals.erase(b.IntervalIndex());
    else
    {
        currentIntervals.insert(b.IntervalIndex());
        if(currentIntervals.size()>1)
            ReportIntersection(currentIntervals);
    }
}

通常是 O(n*log n) （假设交叉点的数量是 O(1) ）。

但是，如果您已经有按例如排序的间隔开始，可能的排序可以在 O(n) 中完成（再次假设交叉点的数量是 O(1)）。