为什么最后一个元素反映了非负解的数量？

Question

请原谅我的天真，因为我没有太多的编程经验。在谷歌搜索一个不相关的问题时，我偶然发现了这个：

https://www.geeksforgeeks.org/find-number-of-solutions-of-a-linear-equation-of-n-variables/

我完全理解第一段（效率极低）的代码。但第二个：

def countSol(coeff, n, rhs): 

    # Create and initialize a table 
    # to store results of subproblems 
    dp = [0 for i in range(rhs + 1)] 
    dp[0] = 1

    # Fill table in bottom up manner 
    for i in range(n): 
        for j in range(coeff[i], rhs + 1): 
            dp[j] += dp[j - coeff[i]] 

    return dp[rhs]

让我很困惑。我的问题是：为什么第二个程序要计算非负整数解的数量？

我已经写了几个例子，包括文章中给出的例子，我知道它确实做到了这一点。我了解它是如何填充列表的。但我不完全理解为什么会这样。

请原谅对某些人来说肯定是一个无知的问题。但我很想理解其中的逻辑，因为我认为这样一个小片段相当聪明——它能够回答像“存在多少非负整数解”这样的一般问题（对于一些一般方程）。

Answer 1

这个算法非常酷，展示了从不同角度寻找解决方案的力量。

我们举个例子：3x + 2y + z = 6，其中 LHS 是左侧，RHS 是右侧。

dp[k] 将通过用非负整数值替换 LHS 变量来跟踪获得 RHS 值 k 的唯一方法的数量。

i 循环遍历 LHS 中的变量。该算法首先将所有变量设置为零。因此，唯一可能的 k 值为零，因此

k        0   1   2   3   4   5   6 
dp[k] =  1   0   0   0   0   0   0

对于 i = 0，我们将更新 dp 以反映如果 x 为 1 或 2 会发生什么。我们不关心 x > 2，因为解都是非负数，而 3x 会太大. j 循环负责更新dp 和dp[k] 增加dp[k - 3] 因为我们可以通过将系数3 的一个副本添加到k-3 来得到RHS 值k。结果是

k        0   1   2   3   4   5   6 
dp[k] =  1   0   0   1   0   0   1

现在算法继续使用 i = 1，更新 dp 以反映所有可能的 RHS 值，其中 x 为 0、1 或 2，y 为 0、1、2 或 3。这次是 j 循环将dp[k] 增加dp[k-2]，因为我们可以通过将系数2 的副本添加到k-2 来得到RHS 值k，从而得到

k        0   1   2   3   4   5   6 
dp[k] =  1   0   1   1   1   1   2

最后，算法合并了 z = 1、2、3、4、5 或 6，结果

k        0   1   2   3   4   5   6 
dp[k] =  1   1   2   3   4   5   7

除了在伪多项式时间内计算答案之外，dp 还对每个 RHS