TINY(x) 内在函数

Question

我是一名大学讲师，本学期我将使用 Fortran 90/95 作为编程语言来教授数值方法课程。课程的开始是从数字的表示开始，我想谈谈可以用 REAL(4)、REAL(8) 和 REAL(16) 表示的数字的限制。我打算在 OnlineGDB 上使用以下代码（这样学生就不必在他们的计算机上安装任何东西，这在远程学习时可能会很痛苦）：

Program declare_reals

implicit none 

real(kind = 4)  :: a_huge, a_tiny ! single precision ; default if kind not specified

!real(4) :: a ! Equivalent to real(kind = 4) :: a

a_huge = huge(a_huge)
print*, "Max positive for real(4) : ", a_huge
a_tiny = tiny(a_tiny)
print*, "Min positive for real(4) : ", a_tiny 
print*, 

End Program declare_reals

有了这段代码，我得到了

 Max positive for real(4) :    3.40282347E+38                                                                                                                          
 Min positive for real(4) :    1.17549435E-38

但是，如果我写a_tiny = tiny(a_tiny)/2.0，输出就变成了

Min positive for real(4) :    5.87747175E-39

查看 gfortran 的文档（OnlineGDB 将其用作 f95 编译器），我的印象是tiny(x) 以下的任何内容都可能导致下溢，并且将显示零而不是非零数字。谁能帮我理解这里发生了什么？如果tiny(x) 没有产生可表示的最小正数，函数调用会显示什么？

Answer 1

Fortran 标准对实数值作了如下规定：

真实x的模型集由

定义

其中b和p是大于一的整数；每个 f_k 是 小于b的非负整数，与f₁ 非零; s 是 +1 或 -1； e 是一个整数，介于某个整数最大值 e_max 和某个整数最小值 e_min 之间 包括在内。对于x = 0，它的指数e和数字f_k 被定义为零。整数参数b、p、 emin 和 e_max 确定模型浮点数的集合。

满足此定义的实数值被称为型号或普通浮点数。您的系统可以表示的浮点数，即机器可表示的数字是型号的超集。它们可以但不一定必须包含 f₁ 零 的值 — 也称为 subnormal floating point numbers — 并且可以填补零附近的下溢缺口。

Fortran 函数tiny(x), huge(x), epsilon(x), spacing(x) 都是针对型号定义的。

tiny(x) 的值由 b^{e_min − 1} 给出，对于单精度浮点数 ( binary32) 由 2⁻¹²⁶ 给出，是最小的模型（正常）编号。当您的系统遵循 IEEE754 时，机器可表示数也将包含次正规数。最小的次正规正数由tiny(x)*epsilon(x) 给出，在 binary32 中是 2^-126 × 2^-23。这就解释了为什么您可以将tiny(x) 除以 2，即从正常到次正常的过渡。

# 最小的正常数 0 00000001 00000000000000000000000₂ = 0080 0000₁₆ = 2⁻¹²⁶ ≈ 1.1754943508 × 10⁻³⁸ # 最小的次正规数 0 00000000 00000000000000000000001₂ = 0000 0001₁₆ = 2⁻¹²⁶ × 2⁻²³ ≈ 1.4012984643 × 10⁻⁴⁵

注意：当您将tiny(x)*epsilon(x) 除以 2 时，gfortran 返回算术下溢错误。

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Ref:取自Wikipedia: Single precision floating-point format的值