如何测试两个函数是否相同？

Question

我在网上找到了一个代码sn-p somewhere：

(letrec
  ([id (lambda (v) v)]
   [ctx0 (lambda (v) `(k ,v))]
         .....
         .....
         (if (memq ctx (list ctx0 id)) <---- condition always return false
         .....

其中 ctx 也是一个函数：

但是我永远无法让测试语句返回 true。

然后我有以下测试：

(define ctx0 (lambda (v) `(k ,v)))
(define ctx1 (lambda (v) `(k ,v)))
(eq? ctx0 ctx1)
=> #f
(eqv? ctx0 ctx1)
=> #f
(equal? ctx0 ctx1)
=> #f

这让我怀疑两个函数总是不同的，因为它们有不同的内存位置。

但如果函数可以与其他函数进行比较，我如何测试两个函数是否相同？如果他们有不同的变量名怎么办？例如：

(lambda (x) (+ x 1)) 和 (lambda (y) (+ y 1))

附：我使用 DrRacket 来测试代码。

Answer 1

你不能。函数被视为不透明的值：它们仅按身份进行比较，仅此而已。 这是设计使然。

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但是为什么？语言不能实现有意义的方法来比较有时可能有用的函数吗？好吧，不是真的，但有时如果不详细说明，很难理解为什么。让我们从您的问题中考虑您的示例 - 这两个函数似乎等效：

(define ctx0 (lambda (v) `(k ,v)))
(define ctx1 (lambda (v) `(k ,v)))

确实如此。但是比较这些函数是否相等会完成什么呢？毕竟，我们可以很容易地实现另一个功能：

(define ctx2 (lambda (w) `(k ,w)))

就所有意图和目的而言，此函数与前两个函数相同，但它会通过简单的相等性检查！

为了判断两个值是否相等，我们必须定义一些定义相等的算法。鉴于我迄今为止提供的示例，这样的算法似乎很明显：当（且仅当）它们是 α-equivalent 时，两个函数应该被认为是相等的。有了这个，我们现在可以有意义地检查两个函数是否相等！

...对吗？

(define ctx3 (lambda (v) (list 'k v)))

嗯，哦。这个函数做同样的事情，但它的实现方式并不完全相同，所以它没有通过我们的相等性检查。当然，我们可以解决这个问题。 Quasiquotation 和使用 list 构造函数几乎相同，因此我们可以将它们定义为在大多数情况下是等价的。

(define ctx4 (lambda (v) (reverse (list v 'k))))

啊！这在操作上也是等效的，但它仍然无法通过我们的等效算法。我们怎么可能做到这一点？

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事实证明我们不能，真的。函数是抽象单元——就其本质而言，我们不应该知道它们是如何实现的，只需要知道它们做了什么。这意味着函数相等实际上只能根据操作等价来正确定义；也就是说，实现并不重要，重要的是行为。

这在任何非平凡语言中都是一个不可判定的问题。不可能确定任何两个函数在操作上是否等效，因为如果可以，我们可以解决halting problem。

理论上，编程语言可以提供一种尽力而为的算法来确定函数等价性，可能使用 α 等价性或其他某种度量。不幸的是，这真的没有用——取决于函数的实现而不是它的行为来确定程序的语义，这违反了函数抽象的基本法则，因此任何依赖于这样一个系统的程序都将是一个反模式。

函数相等是一个非常诱人的问题，当简单的情况看起来很容易时想要解决，但大多数语言都采用了正确的方法，甚至没有尝试过。这并不是说这不是一个有用的想法：如果可能的话，它会非常有用！但既然不是，您将不得不使用不同的工具来完成这项工作。

Answer 2

语义上，两个函数f 和g 相等，如果它们同意每个输入，即如果对于所有x，我们有(= (f x) (g x))。当然，没有办法针对x 的每个可能值进行测试。

如果您只想合理地确信(lambda (x) (+ x 1)) 和(lambda (y) (+ y 1)) 是相同的，那么您可以尝试断言

(map (lambda (x) (+ x 1)) [(-5) (-4) (-3) (-2) (-1) 0 1 2 3 4 5])

和

(map (lambda (y) (+ y 1)) [(-5) (-4) (-3) (-2) (-1) 0 1 2 3 4 5])

在您的单元测试中是相同的。