在一个节点中有多个元素的 B 树中递归地找到第 k 个最小的元素

Question

假设我们有以下 b-tree

我想创建一个算法来找到第 k 个最小的元素。我尝试实现link 中所写的内容，但我发现似乎没有一个解决方案适用于这种树。

到目前为止我已经做到了，这对于最后一个分支的元素运行良好

i <-0
function kthSmallestElement(Node node, int k)
    if(branch[i] != NULL) then
        size<-branch[i].size();
    if(k < size) then
        i++;
        call the function recursively for new branch[i], k
    else if(k > size) then
        k-=size
        i++;
        call the function recursively for new branch[i], k
    else if (k==size) then
        print branch[i]->entry[k-1]
    else
        print brach[i-1]->entry[k-1]
end function

我已经使用 C 实现了算法

#define MAX 4      /* maximum number of keys in node. */
#define MIN 2      /* minimum number of keys in node */

typedef int Key;

typedef struct {
   Key key;
   int value;     /* values can be arbitrary */
} Treeentry;


typedef enum {FALSE, TRUE} Boolean;

typedef struct treenode Treenode;

struct treenode {
  int count;     /* denotes how many keys there are in the node */
    /*
        The entries at each node are kept in an array entry 
          and the pointers in an array branch
    */
  Treeentry entry[MAX+1];
  Treenode *branch[MAX+1];
};

int i = 0;
int size = 0;
void FindKthSmallestElement(Treenode *rootNode, int k){
  if(branch[i] != NULL) //since the node has a child
    size = branch[i] ->count;
    if(k < size){
      i++;
      FindKthSmallestElement(branch[i], k);
    }else if(k > size){
      k-=size;
      i++;
      FindKthSmallestElement(branch[i], k);
    }else if (k==size)
      printf ("%d", branch[i]->entry[k-1].key);
    else
      printf ("%d", brach[i-1]->entry[k-1].key);
}

您能否建议我应该解决什么问题才能为每个第 k 个最小的元素提供有效的输出？我倾向于认为这个问题不能递归解决，因为我们在每个节点中有多个条目。把它变成像link 这样的堆树是明智的吗？

Answer 1

递归访问每个节点并将当前节点的 k 个最小元素添加到列表中。最后对其进行排序并获得第k个数字。

您也可以尝试比较 2 个列表并每次保留 k 个最小的列表，但我认为这会使代码看起来更复杂，最终会以大致相同或更差的速度结束，但肯定会占用更少的内存。

Answer 2

这个问题可以递归解决。你只需要让函数返回两件事：

1. 第 k 个最小的键（或指向它的指针），如果它有 k 个或更多键。
2. 树的大小（如果它的键少于 k 个）。

通过在（根）节点的每个子树上调用函数，从最左边到最右边连续调用函数，并使用不同的（递减）参数 k：

• 让原始/当前树为 R，通过调用 R 最左子树上的函数开始递归，其 k 与 R 接收到的相同。
• 如果在 R 的子树上调用函数成功返回第 k 个最小的键，那么这就是答案并返回它。
• 如果在 R 的某个子树 T 上调用函数找不到第 k 个最小的键，而是返回 T 的大小，例如 n (
• 如果 T 是最右边的子树，则 R 的项目少于 k 个，返回 R 的大小（可以通过将其所有子树的大小和 R 的根中的键数相加来找到）。
• 如果 n == k-1，则第 k 个最小的键是紧靠 T 右侧的键
• 如果 n

显然，您必须注意树的根不再有子树的终端条件。从概念上讲，通过允许包含 0 键的 NULL 子树可能更容易处理。