【发布时间】：2012-10-22 21:36:17
【问题描述】：
我猜你已经知道，如果数组中的所有条目都从 0 开始，并且在每一步我们将计数器增加 1（通过翻转 0 和 1），那么 k 增量的摊销成本为 O(k)。
但是，如果数组以 n 开头会发生什么？我认为 k 增量的复杂度现在可能是 O(log(n) + k)，因为在开始时 1 的最大数量是 log(n)。
有什么建议吗？
提前致谢
【问题讨论】：
标签： algorithm analysis amortized-analysis
【发布时间】：2012-10-22 21:36:17
【问题描述】：
你是对的。有不止一种方法可以证明这一点，其中之一是具有势函数。 This link（和许多其他人）解释了潜在的方法。但是，教科书通常要求势函数的初始值为0。我们针对不是的情况进行概括。
对于二进制计数器，计数器的势函数是设置为 1 的位数。当你递增时，你花费 k+1 时间将 k 个 1 翻转为 0，将一个 0 翻转为 1。势能减少 k -1。所以这个增量的摊销时间 = ActualTime+(PotentialAfter-PotentialBefore) = k+1-(k-1) = 2（常数）。
现在查看维基百科链接中的“摊销时间与实际时间之间的关系”部分。
TotalAmortizedTime = TotalActualTime + SumOfChangesToPotential
由于 SumOfChangesToPotential 是可伸缩的，因此它等于 FinalPotential-InitialPotential。所以：
TotalAmortizedTime = TotalActualTime + FinalPotential-InitialPotential
这给出了：
TotalActualTime = TotalAmortizedTime - FinalPotential + InitialPotential <= TotalAmortizedTime + InitialPotential
所以，正如你所说，从 n 开始的 k 个增量序列的总时间是 O(log n + k)。
【讨论】：
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这是不正确的；摊销成本为 O(k)。很抱歉（非常）迟到的评论和反对票；我在另一个问题的链接中看到了这个答案。 （正如您自己注意到的，单个增量的摊销成本是恒定的。）
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他问“数组以 n 开头”时会发生什么。假设对于一些大的 d 和 k=1，n=2^d-1，即只有一个增量操作。该操作需要时间 Omega(d)，而不是 O(k)。
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是的，根据“摊销”的定义，“摊销”复杂度并不能预测进行单次计算的成本。您正在提供“最坏情况”复杂性的示例。
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我所说的对于任何 k