免责声明：我在写这篇文章时主要考虑了句法考虑和一般行为。我不熟悉所描述方法的内存和 CPU 方面，我将这个答案针对那些拥有相当少量数据集的人，因此插值的质量可能是需要考虑的主要方面。我知道，在处理非常大的数据集时，性能更好的方法（即 griddata 和 RBFInterpolator 没有 neighbors 关键字参数）可能不可行。
请注意，此答案使用 SciPy 1.7.0 中引入的新 RBFInterpolator 类。对于旧版 Rbf 类，请参阅 the previous version of this answer。
我将比较三种多维插值方法（interp2d/splines、griddata和RBFInterpolator）。我将让他们接受两种插值任务和两种底层函数（要插值的点）。具体示例将演示二维插值，但可行的方法适用于任意维度。每种方法都提供各种插值；在所有情况下，我都会使用三次插值（或接近1的东西）。重要的是要注意，无论何时使用插值，都会引入与原始数据相比的偏差，并且使用的特定方法会影响您最终得到的工件。始终注意这一点，并负责任地进行插值。
两个插值任务将是
- 上采样（输入数据在矩形网格上，输出数据在更密集的网格上）
- 将分散的数据插值到规则网格中
这两个函数（通过域[x, y] in [-1, 1]x[-1, 1]）将是
- 流畅友好的功能：
cos(pi*x)*sin(pi*y)；范围在[-1, 1]
- 一个邪恶的（特别是非连续的）函数：
x*y / (x^2 + y^2)，在原点附近的值为 0.5；范围在[-0.5, 0.5]
它们的外观如下：
我将首先演示这三个方法在这四个测试下的表现，然后我将详细介绍所有三个的语法。如果你知道你应该从一个方法中得到什么，你可能不想浪费时间学习它的语法（看着你，interp2d）。
测试数据
为了明确起见，这里是我生成输入数据的代码。虽然在这种特定情况下，我显然知道数据背后的函数，但我只会使用它来生成插值方法的输入。我使用 numpy 是为了方便（主要是为了生成数据），但单独使用 scipy 也足够了。
import numpy as np
import scipy.interpolate as interp
# auxiliary function for mesh generation
def gimme_mesh(n):
minval = -1
maxval = 1
# produce an asymmetric shape in order to catch issues with transpositions
return np.meshgrid(np.linspace(minval, maxval, n),
np.linspace(minval, maxval, n + 1))
# set up underlying test functions, vectorized
def fun_smooth(x, y):
return np.cos(np.pi*x) * np.sin(np.pi*y)
def fun_evil(x, y):
# watch out for singular origin; function has no unique limit there
return np.where(x**2 + y**2 > 1e-10, x*y/(x**2+y**2), 0.5)
# sparse input mesh, 6x7 in shape
N_sparse = 6
x_sparse, y_sparse = gimme_mesh(N_sparse)
z_sparse_smooth = fun_smooth(x_sparse, y_sparse)
z_sparse_evil = fun_evil(x_sparse, y_sparse)
# scattered input points, 10^2 altogether (shape (100,))
N_scattered = 10
rng = np.random.default_rng()
x_scattered, y_scattered = rng.random((2, N_scattered**2))*2 - 1
z_scattered_smooth = fun_smooth(x_scattered, y_scattered)
z_scattered_evil = fun_evil(x_scattered, y_scattered)
# dense output mesh, 20x21 in shape
N_dense = 20
x_dense, y_dense = gimme_mesh(N_dense)
平滑函数和上采样
让我们从最简单的任务开始。以下是从形状为 [6, 7] 的网格到 [20, 21] 之一的上采样如何实现平滑测试功能：
尽管这是一项简单的任务，但输出之间已经存在细微差别。乍一看，所有三个输出都是合理的。根据我们对底层函数的先验知识，有两个特征需要注意：griddata 的中间情况最扭曲了数据。注意绘图的y == -1 边界（最接近x 标签）：函数应该严格为零（因为y == -1 是平滑函数的节点线），但griddata 并非如此。还要注意绘图的x == -1 边界（在左侧后面）：基础函数在[-1, -0.5] 处具有局部最大值（意味着边界附近的梯度为零），但griddata 输出清楚地显示非零梯度在这个地区。效果是微妙的，但它仍然是一种偏见。
邪恶函数和上采样
一个更难的任务是对我们的 evil 函数执行上采样：
三种方法之间开始出现明显的差异。查看表面图，interp2d 的输出中出现了明显的虚假极值（注意绘制表面右侧的两个驼峰）。虽然griddata 和RBFInterpolator 乍一看似乎产生了相似的结果，但在[0.4, -0.4] 附近产生了底层函数中不存在的局部最小值。
但是，RBFInterpolator 在一个关键方面要优越得多：它尊重底层函数的对称性（这当然也可以通过示例网格的对称性实现）。 griddata 的输出打破了样本点的对称性，这在平滑情况下已经很微弱了。
平滑函数和分散数据
大多数情况下，人们希望对分散的数据执行插值。出于这个原因，我希望这些测试更加重要。如上所示，样本点是在感兴趣的域中伪均匀地选择的。在实际场景中，每次测量可能会产生额外的噪音，您应该考虑从一开始就插入原始数据是否有意义。
平滑函数的输出：
现在已经有一些恐怖节目正在上演。我将输出从interp2d 剪裁到[-1, 1] 之间，专门用于绘图，以便至少保留最少量的信息。很明显，虽然存在一些基本形状，但存在巨大的噪声区域，该方法完全失效。 griddata 的第二种情况很好地再现了形状，但请注意等高线图边界处的白色区域。这是因为griddata 仅在输入数据点的凸包内起作用（换句话说，它不执行任何外推）。我为凸包外的输出点保留了默认的 NaN 值。2考虑到这些特性，RBFInterpolator 似乎表现最好。
邪恶的功能和分散的数据
我们一直在等待的那一刻：
interp2d 放弃并不奇怪。事实上，在调用interp2d 期间，您应该期待一些友好的RuntimeWarnings 抱怨无法构造样条线。至于其他两种方法，RBFInterpolator 似乎产生了最好的输出，即使在结果外推的域边界附近也是如此。
所以让我对这三种方法说几句话，按偏好降序排列（这样最糟糕的就是最不可能被任何人阅读的）。
RBFInterpolator 类名称中的 RBF 代表“径向基函数”。老实说，在我开始研究这篇文章之前，我从未考虑过这种方法，但我很确定我将来会使用这些方法。
就像基于样条的方法（见下文），使用分两步：首先根据输入数据创建一个可调用的RBFInterpolator 类实例，然后为给定的输出网格调用此对象以获得插值结果。平滑上采样测试示例：
import scipy.interpolate as interp
sparse_points = np.stack([x_sparse.ravel(), y_sparse.ravel()], -1) # shape (N, 2) in 2d
dense_points = np.stack([x_dense.ravel(), y_dense.ravel()], -1) # shape (N, 2) in 2d
zfun_smooth_rbf = interp.RBFInterpolator(sparse_points, z_sparse_smooth.ravel(),
smoothing=0, kernel='cubic') # explicit default smoothing=0 for interpolation
z_dense_smooth_rbf = zfun_smooth_rbf(dense_points).reshape(x_dense.shape) # not really a function, but a callable class instance
zfun_evil_rbf = interp.RBFInterpolator(sparse_points, z_sparse_evil.ravel(),
smoothing=0, kernel='cubic') # explicit default smoothing=0 for interpolation
z_dense_evil_rbf = zfun_evil_rbf(dense_points).reshape(x_dense.shape) # not really a function, but a callable class instance
请注意，我们必须做一些数组构建体操才能使RBFInterpolator 的 API 满意。由于我们必须将二维点作为形状(N, 2) 的数组传递，我们必须展平输入网格并将两个展平的数组堆叠起来。构造的插值器也需要这种格式的查询点，结果将是一个形状为(N,) 的一维数组，我们必须对其进行整形以匹配我们的二维网格以进行绘图。由于RBFInterpolator 不对输入点的维数做任何假设，因此它支持任意维数进行插值。
所以，scipy.interpolate.RBFInterpolator
- 即使对于疯狂的输入数据也能产生良好的输出
- 支持更高维度的插值
- 在输入点的凸包之外进行外推（当然外推始终是一场赌博，您通常根本不应该依赖它）
- 第一步创建一个插值器，因此在不同的输出点上评估它的额外工作量更少
- 可以有任意形状的输出点数组（而不是被限制为矩形网格，见下文）
- 更有可能保持输入数据的对称性
- 支持关键字
kernel的多种径向函数：multiquadric、inverse_multiquadric、inverse_quadratic、gaussian、linear、cubic、quintic、thin_plate_spline（默认） .从 SciPy 1.7.0 开始，由于技术原因，该类不允许传递自定义可调用对象，但这很可能会在未来的版本中添加。
- 可以通过增加
smoothing 参数给出不精确的插值
RBF 插值的一个缺点是插值N 数据点涉及反转N x N 矩阵。这种二次复杂性很快就会导致大量数据点的内存需求激增。但是，新的 RBFInterpolator 类还支持 neighbors 关键字参数，该参数将每个径向基函数的计算限制为 k 最近的邻居，从而减少内存需求。
我以前最喜欢的 griddata 是用于任意维度插值的通用主力。除了为节点的凸包外的点设置单个预设值之外，它不会执行外推，但由于外推是一个非常善变和危险的事情，这不一定是一个骗局。使用示例：
sparse_points = np.stack([x_sparse.ravel(), y_sparse.ravel()], -1) # shape (N, 2) in 2d
z_dense_smooth_griddata = interp.griddata(sparse_points, z_sparse_smooth.ravel(),
(x_dense, y_dense), method='cubic') # default method is linear
请注意，输入数组需要进行与RBFInterpolator 相同的数组转换。输入点必须在 D 维度的形状为 [N, D] 的数组中指定，或者作为一维数组的元组：
z_dense_smooth_griddata = interp.griddata((x_sparse.ravel(), y_sparse.ravel()),
z_sparse_smooth.ravel(), (x_dense, y_dense), method='cubic')
输出点数组可以指定为任意维度数组的元组（如上面的 sn-ps 中），这给了我们更多的灵活性。
简而言之，scipy.interpolate.griddata
- 即使对于疯狂的输入数据也能产生良好的输出
- 支持更高维度的插值
- 不进行外插，可以为输入点凸包外的输出设置单个值（见
fill_value）
- 在一次调用中计算内插值，因此从头开始探测多组输出点
- 可以有任意形状的输出点
- 支持任意维度的最近邻和线性插值，1d 和 2d 立方。最近邻和线性插值分别在底层使用
NearestNDInterpolator 和LinearNDInterpolator。一维三次插值使用样条曲线，二维三次插值使用CloughTocher2DInterpolator 构造连续可微分的分段三次插值器。
- 可能会违反输入数据的对称性
我讨论interp2d 及其亲属的唯一原因是它有一个欺骗性的名称，人们可能会尝试使用它。剧透警告：不要使用它（从 scipy 版本 1.7.0 开始）。它已经比之前的主题更特别了，因为它专门用于二维插值，但我怀疑这是迄今为止多元插值最常见的情况。
就语法而言，interp2d 与RBFInterpolator 相似之处在于它首先需要构造一个插值实例，可以调用该实例来提供实际的插值。但是有一个问题：输出点必须位于矩形网格上，因此进入插值器调用的输入必须是跨越输出网格的一维向量，就像来自numpy.meshgrid：
# reminder: x_sparse and y_sparse are of shape [6, 7] from numpy.meshgrid
zfun_smooth_interp2d = interp.interp2d(x_sparse, y_sparse, z_sparse_smooth, kind='cubic') # default kind is 'linear'
# reminder: x_dense and y_dense are of shape (20, 21) from numpy.meshgrid
xvec = x_dense[0,:] # 1d array of unique x values, 20 elements
yvec = y_dense[:,0] # 1d array of unique y values, 21 elements
z_dense_smooth_interp2d = zfun_smooth_interp2d(xvec, yvec) # output is (20, 21)-shaped array
使用 interp2d 时最常见的错误之一是将完整的 2d 网格放入插值调用中，这会导致内存消耗激增，并希望导致仓促的 MemoryError。
现在，interp2d 的最大问题是它经常不起作用。为了理解这一点，我们必须深入了解。事实证明，interp2d 是低级函数 bisplrep + bisplev 的包装器，它们又是 FITPACK 例程（用 Fortran 编写）的包装器。对上一个示例的等效调用将是
kind = 'cubic'
if kind == 'linear':
kx = ky = 1
elif kind == 'cubic':
kx = ky = 3
elif kind == 'quintic':
kx = ky = 5
# bisplrep constructs a spline representation, bisplev evaluates the spline at given points
bisp_smooth = interp.bisplrep(x_sparse.ravel(), y_sparse.ravel(),
z_sparse_smooth.ravel(), kx=kx, ky=ky, s=0)
z_dense_smooth_bisplrep = interp.bisplev(xvec, yvec, bisp_smooth).T # note the transpose
现在，这是关于 interp2d 的事情：（在 scipy 版本 1.7.0 中）interp2d 有一个不错的 comment in interpolate/interpolate.py：
if not rectangular_grid:
# TODO: surfit is really not meant for interpolation!
self.tck = fitpack.bisplrep(x, y, z, kx=kx, ky=ky, s=0.0)
确实在interpolate/fitpack.py 和bisplrep 中有一些设置，最终
tx, ty, c, o = _fitpack._surfit(x, y, z, w, xb, xe, yb, ye, kx, ky,
task, s, eps, tx, ty, nxest, nyest,
wrk, lwrk1, lwrk2)
就是这样。 interp2d 底层的例程并不真正意味着执行插值。对于表现良好的数据，它们可能就足够了，但在现实情况下，您可能想要使用其他东西。
总结一下，interpolate.interp2d
- 即使使用经过良好处理的数据也会导致伪影
- 专门针对二元问题（尽管在网格上定义的输入点有限
interpn）
- 执行外推
- 第一步创建一个插值器，因此在不同的输出点上评估它的额外工作量更少
- 只能在矩形网格上产生输出，对于分散的输出，您必须在循环中调用插值器
- 支持线性、三次和五次插值
- 可能会违反输入数据的对称性
1我相当确定cubic 和linear 的基函数类型与RBFInterpolator 不完全对应于其他同名插值器。
2这些 NaN 也是表面图看起来如此奇怪的原因：matplotlib 历来难以绘制具有适当深度信息的复杂 3d 对象。数据中的 NaN 值混淆了渲染器，因此应该在后面的表面部分被绘制在前面。这是可视化问题，而不是插值问题。