能够简化 'A^(B^C) mod prim' 以使其可有效计算的解释是什么？

Question

前奏

我们要计算 modular exponentiation A^(BC) mod p = ?，其中 A、B、C 和 @987654333 @ 是已知的，p 是一个基本数字。例如：2⁴³mod 23 = 6

如果我们直接计算的话，首先是B^C = e，然后是A^e = n，最后是n mod p；我们将遇到为 e 和 n 创建（可能）非常大的中间结果的问题。例如：e = 4³ = 64，n = 2⁶⁴ ≈ 1.845x10¹⁹，最后 n mod 23 = 6

但是，以直接的方式执行此操作，我们没有利用 p 是一个素数并且我们正在执行模幂运算这一事实。而且这样做，我们会遇到用计算机程序在 time (CPU) 和 space (memory) 方面计算结果的问题。

（是的，我们可以通过首先将 A^(BC) mod p 减少为A^e mode p. 例如 A² mod p = (A ⋅ A) mod p = [(A mod p) ⋅ (A mod p)] mod p –但这不是我们想要去的地方）。

聪明的方法——使用费马小定理

正如GeeksforGeeks 上的Find power of power under mod of a prime 和这个问题的起源 中所述，我们在A^{(BC) 中的指数BC} mod p 可以使用Fermat's little theorem 以不同方式表示。

费马小定理指出：a^{(p - 1)} ≡ 1 (mod p) 如果 p 是素数

导致以下转变：

1. 可以重写指数 B^C 为 x ⋅ (p - 1) + y

2. 使用替代表达式，我们的 A^BC 变为 A^{x ⋅ (p - 1) + y} = A^{x ⋅ (p - 1)} ⋅ A^y

3. 使用费马小定理 A^{x ⋅ (p - 1)} = 1;计算 A^(BC) mod p 变为计算 A^y

4. 使用 B^C = x ⋅ (p - 1) + y 那么 y 可以写成 B^C mod (p - 1)

从上面我们得到 A^(BC) mod p = (A^y) mod p

有了所有这些，我们可以分两步计算 A^(BC) mod p，同时保持中间结果很小。

1. y = (B^C) mod (p - 1)
2. 结果 = (A^y) mod p

例如：2⁴³mod 23

1. y = 4³ mod (23 - 1) = 64 mod 22 = 20
2. 结果 = 2²⁰ mod 23 = 1048576 mod 23 = 6

问题

我的问题是关于上述转换的，我在任何地方都找不到（易于理解的）解释。也密切关注Fermat's little theorem 并没有帮助。可能这些转换应该是显而易见的，但我根本不清楚。

特别是，我不明白为什么指数 B^C 可以表示为 x ⋅ (p - 1) + y。 – 这背后的原因是什么？

还有，为什么在使用Fermat's little theorem时要“明显”：

a^{(p - 1)} ≡ 1 (mod p) 即 A^{x ⋅ (p - 1)} = 1?

如果有人能以易于理解的方式解释这些转换，那就太好了。

Answer 1

让我来解决您的两个主要问题：

特别是，我不明白为什么指数 B^C 可以表示为 x ⋅ (p - 1) + y。 – 这背后的原因是什么？

任意整数 k 对于某个模数 m 可以表示为 k = xm + y。将其视为 k 除以 m，得到 商 x 和 余数 y。所以让 k = B^C 和 m = p - 1 和 tada。

如果能帮助你理解，打个比方，你可以把任意数量的分钟变成“小时 + 分钟”，当 m = 60 时，x = 小时，y = 剩余分钟数。

还有，为什么在使用费马小定理时它应该是“显而易见的”：

a^{(p - 1)} ≡ 1 (mod p) 即 A^{x ⋅ (p - 1)} = 1?

假设我们有一个^{(p - 1)} ≡ 1 (mod p)。如果我们将两边都乘以 a^{(p - 1)} 会发生什么？我们得到：

    a^{(p - 1)} a^{(p - 1)} ≡ a^{(p - 1)} (mod p)
a^{(p - 1) + (p - 1)} ≡ 1 (mod p)             (z^xz^y = z^{x +y} 和右手边等价于我们之前看到的 1)
a^{2(p - 1)} ≡ 1 (mod p)

我们可以反复将两边乘以a^{(p - 1)}得到a^{3(p - 1)}，a^{4(p - 1)} 等，所以我们说对于任何整数 x，我们有一个^{x(p - 1)} ≡ 1 (mod p)。