函数式编程是否被认为更“数学”？如果是这样，为什么？答案

【问题标题】：Is functional programming considered more "mathematical"? If so, why?函数式编程是否被认为更“数学”？如果是这样，为什么？
【发布时间】：2011-05-29 16:55:44
【问题描述】：

时不时地，我听到有人说“函数式编程语言更数学”之类的话。是这样吗？如果是这样，为什么以及如何？例如，Scheme 是否比 Java 或 C 更具数学性？还是 Haskell？

我无法准确定义什么是“数学”，但我相信你能体会到。

谢谢！

【问题讨论】：

【解决方案1】：

有两种常见的 (*) models of computation：Lambda Calculus (LC) 型号和 Turing Machine (TM) 型号。

Lambda 演算通过使用数学形式来表示计算来处理计算，其中结果是通过类型域上的函数组合产生的。 LC 还与Combinatory Logic 有关，这被认为是针对同一主题的更通用的方法。

图灵机模型通过将计算表示为使用一组基本操作（如加法、突变等）对存储在理想化存储中的符号进行操作来处理计算。

这些不同的计算模型是不同系列编程语言的基础。 Lambda 演算产生了ML、Scheme 和Haskell 等语言。图灵模型产生了C、C++、Pascal等。概括地说，大多数functional programming 语言都有 lambda 演算的理论基础。

由于 Lambda 演算的性质，某些基于其原理构建的系统行为的证明是可能的。事实上，可证明性（即correctness）是LC 中的一个重要概念，它使关于LC 系统的某些推理和结论成为可能。 LC 也与类型论和范畴论相关（并依赖于）。

相比之下，图灵模型较少依赖类型理论，而更多地依赖于将计算结构化为底层模型中的一系列状态转换。图灵机计算模型更难做出断言，并且不适合基于 LC 的程序所做的相同类型的数学证明和操作。然而，这并不意味着不可能进行这样的分析——在研究虚拟化和程序的静态分析时会用到 TM 模型的一些重要方面。

因为函数式编程依赖于仔细选择类型和类型之间的转换，所以 FP 可以被认为更“数学化”。

(*) 也存在其他计算模型，但它们与本次讨论的相关性较低。

【讨论】：

【解决方案2】：

纯函数式编程语言是functional calculus 的示例，因此理论上用函数式语言编写的程序可以在数学意义上进行推理。理想情况下，您希望能够“证明”程序是正确的。

在实践中，除了一些琐碎的情况外，这样的推理非常困难，但在某种程度上仍然是可能的。您可能能够证明程序的某些属性，例如，您可能能够证明给定程序的所有数字输入，输出总是被限制在某个范围内。

在具有可变状态和副作用的非函数式语言中，尝试推理程序并“证明”正确性几乎是不可能的，至少目前是这样。对于非功能性程序，您可以仔细考虑程序并说服自己其中的某些部分是正确的，并且您可以运行单元测试来测试某些输入，但通常不可能构建关于程序行为的严格数学证明。

【讨论】：

【解决方案3】：

我认为一个主要原因是纯函数式语言没有副作用，即没有可变状态，它们只是将输入参数映射到结果值，这正是数学函数所做的。

【讨论】：

【解决方案4】：

函数式编程的逻辑结构重于based on lambda calculus。虽然它似乎不是仅基于数学的代数形式的数学，但它写成very easily from discrete mathematics。

与命令式编程相比，它并没有明确规定如何做某事，而是规定必须做什么。这反映了拓扑。

【讨论】：

我认为这反映了拓扑结构。值得解释一下！
这很公平！拓扑学是对在物体连续变形下保持不变的物体特性的研究。它通常涉及函数映射的空间，而不是函数本身——它对提供这种映射的所有可能的函数都有效。在函数式编程中，映射到和映射的空间是指定的，而不是算法本身。命令式指定算法，您希望它映射到正确的空间。

【解决方案5】：

函数式编程语言的数学感觉来自几个不同的特性。最明显的是名字； “函数式”，即使用函数，这是数学的基础。另一个重要的原因是函数式编程涉及定义一组永远为真的事物，通过它们的交互来实现所需的计算——这类似于数学证明的完成方式。

【讨论】：