是否可以为“免费”实现 MonadFix？

Question

http://hackage.haskell.org/package/free in Control.Monad.Free.Free 允许访问任何给定Functor 的“免费单子”。但是，它没有MonadFix 实例。这是因为这样的实例无法编写，还是被遗漏了？

如果这样的实例不能写，为什么不呢？

Answer 1

考虑mfix 所做的描述：

一元计算的不动点。 mfix f 只执行一次操作 f，最终输出作为输入反馈。

在Free 的上下文中，“执行”一词表示创建Functor 的层。因此，“仅一次”意味着在评估 mfix f 的结果中，Pure 构造函数中保存的值必须完全确定创建了多少层仿函数。

现在，假设我们有一个特定的函数once，我们知道它总是只会创建一个Free 构造函数，但是需要许多Pure 构造函数来保存叶值。那么，'once' 的输出将只有Free f a 类型的值与f a 类型的某个值同构。有了这些知识，我们就可以安全地 un-Free once 的输出，得到 f a 类型的值。

现在，请注意，因为mfix 需要“只执行一次操作”，所以对于符合要求的实例，mfix once 的结果应该不包含比once 在单个应用程序中创建的额外的一元结构。因此我们可以推断，从mfix once 获得的值也必须与f a 类型的值同构。

给定任何a -> f a类型的函数对于一些Functorf，我们可以用单个Free包装结果并得到满足上面once描述的a -> Free f a类型的函数，并且我们已经确定我们可以解开 mfix once 的结果以返回 f a 类型的值。

因此，符合条件的实例 (Functor f) => MonadFix (Free f) 意味着能够通过上述包装和展开来编写函数 ffix :: (Functor f) => (a -> f a) -> f a，该函数适用于 Functor 的所有实例。

这显然不能证明您不能编写这样的实例...但是如果可能的话，MonadFix 将是完全多余的，因为您可以轻松地编写 @987654353 @ 直接地。 （我想用Monad 约束将它重新实现为mfix，使用liftM。呃。）

Answer 2

好吧，受Maybe 的MonadFix 实例的启发，我尝试了这个（使用Free 的以下定义）：

data Free f a
    = Pure a
    | Impure (f (Free f a))

instance (Functor f) => Monad (Free f) where
    return = Pure
    Pure x >>= f = f x
    Impure x >>= f = Impure (fmap (>>= f) x)

instance (Functor f) => MonadFix (Free f) where
    mfix f = let Pure x = f x in Pure x

The laws 是：

• 纯度：mfix (return . h) = return (fix h)
• 左缩：mfix (\x -> a >>= \y -> f x y) = a >>= \y -> mfix (\x -> f x y)
• 滑动：mfix (liftM h . f) = liftM h (mfix (f . h))，对于严格的h
• 嵌套：mfix (\x -> mfix (f x)) = mfix (\x -> f x x)

纯度很容易证明——但我在尝试证明左缩时遇到了一个问题：

mfix (\x -> a >>= \y -> f x y)
= let Pure x = (\x -> a >>= \y -> f x y) x in Pure x
= let Pure x = a >>= \y -> f x y in Pure x
-- case a = Pure z
  = let Pure x = Pure z >>= \y -> f x y in Pure x
  = let Pure x = f x z in Pure x
  = let Pure x = (\x -> f x z) x in Pure x
  = mfix (\x -> f x z)
  = Pure z >>= \y -> mfix (\x -> f x y)
-- case a = Impure t
  = let Pure x = Impure t >>= \y -> f x y in Pure x
  = let Pure x = Impure (fmap (>>= \y -> f x y) t) in Pure x
  = Pure _|_

但是

  Impure t >>= \y -> mfix (\x -> f x y)
  = Impure (fmap (>>= \y -> mfix (\x -> f x y)) t)
  /= Pure _|_

因此，至少，如果 Pure 和 Impure 构造函数是可区分的，那么我对 mfix 的实现不符合法律。我想不出任何其他的实现，但这并不意味着它不存在。抱歉，我无法进一步说明。

Answer 3

不，不能笼统地写出来，因为不是每个 Monad 都是 MonadFix 的实例。 每个 Monad 都可以使用下面的 FreeMonad 来实现。如果您可以免费实现 MonadFix，那么您将能够从任何 Monad 派生 MonadFix，这是不可能的。 但当然，您可以为 MonadFix 类定义一个 FreeFix。

我认为它可能看起来像这样，但这只是第三次猜测（尚未测试）：

data FreeFix m a = FreeFix { runFreeFix :: (forall r. (r -> m r) -> m r) -> m a }

instance (Monad m) => Monad (FreeFix m) where
    return a = FreeFix $ \_-> do
        return a
    f >>= g = FreeFix $ \mfx -> do
        x <- runFreeFix f mfx
        runFreeFix (g x) mfx

instance (Monad m) => MonadFix (FreeFix m) where
    mfix f = FreeFix $ \mfx -> do
        mfx (\r->runFreeFix (f r) mfx)

这个想法是 m 是一个缺少 mfix 实现的 Monad；所以当 FreeFix 会被缩减时，mfix 需要作为一个参数。