我刚在面试中得到这个问题，不知道如何计算答案。
如果删除“LINE 3”，fib(n) 需要多少额外的函数调用？答案应该是关于 n 的。
int fib(int n) {
if(n == 0) return 0;
if(n == 1) return 1;
if(n == 2) return 1; //LINE 3 HERE <---
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
【问题讨论】：
标签： algorithm complexity-theory fibonacci
它可以很容易地计算出来。旧代码：
TO(0)=TO(1)=TO(2)=1
TO(n)=TO(n-1)+TO(n+2)+1
新代码：
TN(0)=TN(1)=1
TN(n)=TN(n-1)+TN(n-2)+1
简单地通过减去这两个来计算差异：
D(0)=D(1)=0
D(2)=3-1=2
D(n)=TN(n)-TO(n)=TN(n-1)+TN(n-2)+1-(TO(n-1)+TO(n+2)+1)
=(TN(n-1)-TO(n-1))+(TN(n-2)-TN(n-2))+(1-1)
=D(n-1)+D(n-2)
这意味着差异是以 0,0,2 开头的斐波那契数列。也可以为它计算一个闭式表达式。
【讨论】：
所需的额外调用次数也是斐波那契数列。
0 0 2 2 4 6 10 16 26 42 68 110 178 288 466
#include<iostream>
using namespace std;
int a = 0;
int b = 0;
int fib(int n) {
a++;
if(n == 0) return 0;
if(n == 1) return 1;
if(n == 2) return 1; //LINE 3 HERE <---
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
int fib1(int n) {
b++;
if(n == 0) return 0;
if(n == 1) return 1;
return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
}
int main(int argc, char* argv[])
{
for(int i =0 ;i<15;i++)
{
fib(i);
fib1(i);
cout<<b-a<<" ";
b = a = 0;
}
}
注意：我认为这会是一些常数，但是...
【讨论】：
2 * fib(n-2) ? :)
假设没有第 3 行，计算 f(3)：
f(3) = f(2) + f(1)
f(1) = 1
f(2) = f(1) + f(0)
f(0) = 0
f(1) = 1
现在计算 f(2) 需要 3 次调用。如果有第三行，那么这将在 1 次调用中完成。
这个算法的复杂度（没有第 3 行）是O(2^n)。当您添加第 3 行时，其中包含针对n = 2 的情况的显式解决方案，复杂性变为O(2^(n-1)) 等于(1/2) * O(2^n) = kO(2^n)，其中系数 k = 0.5。如果为 n = 3 的情况添加显式解决方案，则得到 k = 0.25，依此类推。当您添加 p 显式解决方案时，复杂性将是：
1
O (--- * 2^n)
2^p
这意味着，如果您将计算 n 从 1 到 n 的答案，并且如果您将保存所有计算出的解决方案，那么您将获得 p = n - 1 和每个 n 步骤的算法，复杂性将是2*O(n).
【讨论】：