生成“自己的”斐波那契数列

Question

我遇到了一个不寻常的（我认为）问题。对于给定的数字 F_n（我不知道 n 的值），我必须找到数字 F_0、F_1 使得 F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}。另一个困难是这个序列应该尽可能长（F_n 的值 n 应该是最高的），如果存在多个解决方案，我必须用最小的 F_0 来解决这个问题。简而言之，我必须生成我“自己的”斐波那契数列。一些例子：

在：F_n = 10； 出：F_0 = 0； F_1 = 2;

在：F_n = 17； 出：F_0 = 1； F_1 = 5；

在：F_n = 4181； 出：F_0 = 0； F_1 = 1;

我观察到的每个序列（使用“斐​​波那契规则”）F_n 有：

F_n = Fib_n * F_1 + Fib_{n-1} * F_0

Fib_n 是第 n 个斐波那契数。对于斐波那契数列尤其如此。但我不知道这个观察是否值得。我们不知道 n，我们的任务是找到 F_1、F_0，所以我认为我们一无所获。有什么想法吗？

Answer 1

F_n-1 = round(F_n/φ)

其中 φ=(√5+1)/2。

证明留给读者练习;^P

更新这是不正确的，回到绘图板。

更新 2 让我们从 F_n 和 F_n-1 向后计算。

F_n-2 = F_n - F_n-1
F_n-3 = F_n-1 - F_n-2 = F_n-1 - (F _n - F_n-1) = 2F_n-1 - F_n
F_n-4 = F_n-2 - F_n-3 = (F_n - F_n-1) - (2F_n-1 - F_n) = 2F_n - 3F_{n- 1}
F_n-5 = F_n-3 - F_n-4 = (2F_n-1 - F _n) - (2F_n - 3F_n-1) = 5F_n-1 - 3F _n
F_n-6 = F_n-4 - F_n-5 = (2F_n - 3F_n-1) - (5F_n-1 - 3F_n) = 5F_n - 8F_{n- 1}

注意到模式了吗？很容易从 real 斐波那契数列和最后两个成员中计算出序列的任何成员。但是我们只知道最后一个成员，我们怎么知道最后一个呢？

让我们用 F_n-1 的形式写下需求 F_i>0。

F_n-2 = F_n - F_n-1 > 0 ⇒ F_n-1n
F_n-3 = 2F_n-1 - F_n > 0 ⇒ F_n-1 > Fn/2
F_n-4 = 2F_n - 3F_n-1 ⇒ F_n-1 n/3
F_n-5 = 5F_n-1 - 3F_n ⇒ F_n-1 > 3F _n/5

所以我们在 F_n-1 上有一系列界限，用书面形式表示真正的斐波那契数列，每个界限都比前一个更紧。仍然可满足的最后一个界限确定对应于最长序列的 F_n-1。如果有多个数满足最后一个界限，则使用最小或最大的一个，具体取决于序列的长度是偶数还是奇数。

例如，如果 F_n=101，那么
101*5/8 n-1 n-1 = 63

之前的（不正确的）解决方案将暗示 F_n-1 = 62，这是接近但没有雪茄。

Answer 2

你的方程式

F_n = Fib_n * F_1 + Fib_{n-1} * F_0

是 linear Diophantine equation in two variables F_1 和 F_0。该链接提供了一种有效的算法来计算解决方案集的描述，该算法允许您找到解决方案（如果存在），F_1 >= 0 和 F_0 >= 0 和 F_0 最小值。然后您可以尝试猜测n = 0, 1, ...，直到您发现没有解决方案。这种方法在log(F_n) 中是多项式的。

Answer 3

我不确定您在寻找什么。您提到的递归系列定义为：

Fn = F{n-1} + F{n-2}

显然，如果凝视值可以是任何值，我们可以随意选择F{n-1}，它会给出F{n-2} ( = Fn=F{n-1})。知道F{n-1} = F{n-2} + F{n-3}，则可以从F{n-1} and F{n-2} 计算出F{n-3}。这意味着您可以将数字追溯到无穷大，因此没有“最长”序列，并且有无限多个有效序列。

在某种程度上，您正在计算一个初始值 F{n} 和 F{n-1} 的逆斐波那契数列，其中 F{i} = F{i+2}-F{i+1}、i 永远递减

更新： 如果您希望将解决方案空间限制为所有F{i} 都是非负整数的结果，您将只能获得少数（大多数情况下是单例）解决方案。

如果你计算原始斐波那契数（Fib{i}），很快你就会得到F{n} < Fib{i-1}；显然你不需要再进一步了。然后你可以尝试F{0} 和F{1} 的所有可能组合，这样F{n} <= Fib{i} * F{1}+ Fib{i-1} * F{0} - 非负F{0} 和F{1} 的可能性是有限的（你显然可以排除F{0}=F{1}=0 )。然后看看哪个i(s) 在满足平等的那些中最高——你也会得到F{0} 和F{1}

Answer 4

F_n = Fib_n * F_1 + Fib_{n-1} * F_0

Fib_n 是第 n 个斐波那契数。尤其是对于 斐波那契数列。但我不知道这个观察是否 什么都值得。我们不知道 n，我们的任务是找到 F_1, F_0 所以我 认为我们一无所获。

嗯，你正在寻找最长的序列，这意味着你想最大化n。

为斐波那契数创建一个查找表。从最大的n 开始，例如Fib_n <= F_n，表中的前一个条目是fib_n{n-1}。现在唯一的变量是F_1 和F_0。解决linear Diophantine equation。如果它有解决方案，你就完成了。如果没有，请将 n 减 1，然后重试，直到找到解决方案。

注意：解决方案始终存在，因为F_2 = 1 * F_1 + 0 * F_0 有解决方案F_2 = F_1。

Answer 5

使用矩阵模拟斐波那契数的计算（但具有不同的初始值）。当乘以 [F_{n}, F_{n+1}] 时，[[0 1] [1 1]] 的 k 次幂将得到 [F_{n+k}, F_{n+1+k}]。

由于矩阵的幂次是 O(log n)（假设整数的乘法是 O(1)），您可以在 O(log n) 时间内执行整个计算，直到矩阵系数开始主导计算。

我不知道你正在处理的数字有多大，但是这个矩阵的 n 次方是 [[F_{n-1} F_n] [F_n F_{n+1}]]。和 log(F_n) ~ n/5（所以第 10 亿个斐波那契数大约有 2 亿位）。