尽可能考虑几个因素的算法

Question

是否有一种已知算法可以将整数分解为尽可能少的因子（不一定是素数），其中每个因子都小于某个给定的常数 N？

我不关心质因数大于 N 的数字。此外，我不处理大于几百万的数字，并且因式分解是处理初始化的一部分，所以我并不特别担心计算复杂度。

编辑：只是为了清楚。我已经有代码找到了主要因素。我正在寻找一种方法将这些因素组合成尽可能少的复合因素，同时保持每个因素小于 N。

Answer 1

您可以通过将其分为两部分来解决您的问题：

1. 使用任何standard techniques 将您的数字分解为质数。对于只有几百万的人来说，审判分工是完全可以的。

2. 取每个因子的对数，pack them into bins的大小为log N。

现在，装箱是NP-hard，但实际上可以使用简单的技术找到好的近似解：首次拟合算法装箱不超过最佳装箱数量的 11/9 倍（加上一个装箱）。

这是 Python 中的一个实现：

from math import exp, log, sqrt
import operator

def factorize(n):
    """
    Factorize n by trial division and yield the prime factors.

    >>> list(factorize(24))
    [2, 2, 2, 3]
    >>> list(factorize(91))
    [7, 13]
    >>> list(factorize(999983))
    [999983]
    """
    for p in xrange(2, int(sqrt(n)) + 1):
        while n % p == 0:
            yield p
            n //= p
        if n == 1:
            return
    yield n

def product(s):
    """
    Return the product of the items in the sequence `s`.

    >>> from math import factorial
    >>> product(xrange(1,10)) == factorial(9)
    True
    """
    return reduce(operator.mul, s, 1)

def pack(objects, bin_size, cost=sum):
    """
    Pack the numbers in `objects` into a small number of bins of size
    `bin_size` using the first-fit decreasing algorithm. The optional
    argument `cost` is a function that computes the cost of a bin.

    >>> pack([2, 5, 4, 7, 1, 3, 8], 10)
    [[8, 2], [7, 3], [5, 4, 1]]
    >>> len(pack([6,6,5,5,5,4,4,4,4,2,2,2,2,3,3,7,7,5,5,8,8,4,4,5], 10))
    11
    """
    bins = []
    for o in sorted(objects, reverse=True):
        if o > bin_size:
            raise ValueError("Object {0} is bigger than bin {1}"
                             .format(o, bin_size))
        for b in bins:
            new_cost = cost([b[0], o])
            if new_cost <= bin_size:
                b[0] = new_cost
                b[1].append(o)
                break
        else:
            b = [o]
            bins.append([cost(b), b])
    return [b[1] for b in bins]

def small_factorization(n, m):
    """
    Factorize `n` into a small number of factors, subject to the
    constraint that each factor is less than or equal to `m`.

    >>> small_factorization(2400, 40)
    [25, 24, 4]
    >>> small_factorization(2400, 50)
    [50, 48]
    """
    return [product(b) for b in pack(factorize(n), m, cost=product)]

Answer 2

我不知道是否有既定的算法，但我会尝试以下

public static List<Integer> getFactors(int myNumber, int N) {
    int temp=N;
    int origNumber=myNumber;        
    List<Integer> results=new ArrayList<Integer>();
    System.out.println("Factors of "+myNumber+" not greater than "+N);
    while (temp>1) {            
        if (myNumber % temp == 0) {
            results.add(temp);
            myNumber/=temp;                                
        } else {
            if (myNumber<temp) {
                temp= myNumber;                    
            } else {
                temp--;
            }
        }
    }
    for (int div : results) {
        origNumber/=div;
    }
    if (origNumber>1) {
        results.clear();
    }        
    return(results);
}

希望对你有帮助。

Answer 3

那么，如果你能找到一个因素，你就完成了，因为第二个因素就是你的数字除以第一个因素。为了让它更快，只需使用一个素数筛。如果您的最大数量在数百万范围内，我想筛子不是很大。