值以 2 的幂增加的循环的时间复杂度

Question

for(i=1;i<=n;i=pow(2,i)) { print i }

这个的时间复杂度是多少？

kth 值的近似值 i 将是 pow(2,(pow(2,pow(2,pow(2, pow(2,pow(2,...... k times)))))))

上面的值，比如说kth value of i < n，如何解决k。

Answer 1

你所拥有的类似于tetration(2,n)，但不是它，因为你的结束条件错误。

复杂性很大程度上取决于领域和实现。从您的示例代码中，我推断出 real domain 和 integers。

这个函数增长得非常快，所以在 5 次迭代后你需要 bigints，即使 +,-,*,/,<<,>> 不是 O(1)。 pow 和 print 的实施也有很大的影响。

如果是小的n<tetration(2,4)，您可以假设复杂度是O(1)，因为对于这么小的 n 没有渐近可言。

注意pow 在大多数语言中是浮点数，并且支持2 by i 可以转换为简单的位移，因此假设如下：

for (i=1;i<=n;i=1<<i) print(i); 

我们可以使用i 的先前状态来计算1<<i，如下所示：

i0=i; i<<=(i-i0); 

但如此大的数字并没有加速。

现在 decadic print(i) 的复杂度是以下之一：

O( log(i))               // power of 10 datawords (like 1000000000 for 32 bit)
O((log(i))^2)            // power of 2 datawords naive print implementation
O( log(i).log(log(i)))   // power of 2 datawords subdivision or FFT based print implementation

位移1<<i和比较i<=n的复杂度是：

O(log(i))                // power of 2 datawords

因此为print 选择2 个数据字的最佳实现会导致迭代：

O( log(i).log(log(i) + log(i) + log(i) ) -> O(log(i).log(log(i)))

乍一看，我们会认为我们需要知道 k 与 n 的迭代次数：

n = tetration(2,k)
k = slog2(n)

或与Ackermann function直接相关的Knuth's notation：

n = 2↑↑k
k = 2↓↓n

但是与循环内的东西的内部复杂性相比，迭代次数是如此之少，并且下一次迭代增长如此之快，以至于上一次迭代是下一次迭代的可忽略不计的一部分，因此我们可以忽略它们，只考虑最后一次/迭代...

在所有这些假设之后，我得到了最终的复杂性：

O(log(n).log(log(n)))