我有这个练习：
“使用递归树确定递归 T(n)=T(n/2)+n^2 的良好渐近上界。使用替换方法来验证您的答案”
我已经做了这个递归树
我假设 k -> 无穷大（在我的书中，当 T 中的输入为 1 时，他们经常停止重复，但当我没有其他信息时，我认为情况并非如此）。
我的结论是：
当我使用替换方法时，我假设 T(n)=O(n^2)
然后完成以下步骤：
当 n>0 和 c>0 时，我看到以下对于 c 的某些选择是正确的
因此T(n)
我的问题是：“这是正确的做法吗？”
【问题讨论】：
标签： algorithm recursion performance
首先，正如菲利普所说，您的递归树是错误的。它最终并没有影响复杂性，但是你弄错了常量。
T(n) becomes
n^2 + T(n/2) becomes
n^2 + n^2/4 + T(n/4) becomes
...
n^2(1 + 1/4 + 1/16 + ...)
停在一个与停在无穷大主要是品味问题，选择更方便的东西。在这种情况下，我会和你一样使用无穷和，因为这样我们就可以使用几何级数公式来很好地猜测T(n) <= (4/3)n^2
唯一让我有点困扰的是你的证明最终倾向于非正式的。在非正式的证明中很容易迷失方向，所以如果我必须给你的作业评分，我会更愿意使用传统的归纳证明，如下所示：
要证明的陈述
We wish to prove that T(n) <= (4/3)*n^2, for n >= 1
c 和 n0 的具体值使证明更可信，所以如果可以的话，把它们放进去。通常，您需要运行一次证明才能实际找到值，然后返回并将它们放入，就好像您一开始就已经知道它们一样:) 在这种情况下，我希望我的 4/3 猜测来自递归树结果是正确的。
归纳证明：
基本情况（n = 1）：
T(1) = 1
（你没有明确 T(1) 的值，但我想这应该在原始练习中）
T(1) = 1
<= 4/3
= (4/3)*1^2
T(1) <= (4/3)*1^2
如我们所愿。
归纳案例（n > 1）：
（这里我们假设所有 n' T(n') <= 4/3*(n')^2）
我们知道
T(n) = n^2 + T(n/2)
通过归纳假设：
T(n) <= n^2 + (4/3)(n/2)^2
做一些代数：
T(n) <= n^2 + (4/3)(n/2)^2
= n^2 + (1/3)n^2
= (4/3)n^2
T(n) <= (4/3)*n^2
如我们所愿。
可能看起来很无聊，但现在我可以确定我得到了正确的答案！
【讨论】：
你的递归树是错误的。它应该是这样的：
n^2
|
(n/2)^2
|
(n/4)^2
|
...
|
(n/2^k)^2
一旦 T 达到 1，您就可以安全地停止，因为您通常计算离散的“步数”，而没有“0.34 步数”这样的东西。
由于您在每次迭代中都将n 除以2，因此k 在这里等于log2(n)。
【讨论】：