Rank 3 的张量乘法

Question

我有两个 3 阶张量，也就是两个 3D 矩阵。我想取这两个矩阵的点积。我很困惑继续这个问题。帮我用公式来做到这一点。

Answer 1

3-way 张量（或等效的 3D 数组或 3-order 数组）不一定是 rank-3；这里，“张量的秩”表示秩为1的张量的最小个数（即向量的外积；对于N路张量，它是获得原始张量所需的 N 个向量的外积。这在下图所谓的CP分解中进行了解释。

上图中，原始张量(x)可以写成R个rank-1张量之和，其中R 是一个正整数。在 CP 分解中，我们的目标是找到一个最小 R 来产生我们的原始张量 X。而这个最小值 R 称为我们原始张量的秩。

对于一个 3 路张量，它是 (a1,a2,a3...aR; b1,b2,b3...bR; c1,c2,c3...cR) 向量（其中每个向量都是 n 维的）以获得原始张量。张量可以写成这些向量的外积：

就元素而言，我们可以将 3-way 张量写为：

现在，在这个背景下，为了回答您的具体问题，采用点积（也称为 张量内积），两个张量必须具有相同的形状（例如 3x2x5 和 3x2x5），那么内积定义为它们的值的元素乘积之和。

其中脚本 X 和 Y 是相同形状的张量。

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P.S.：上述公式中的 波浪号不应被解释为近似值。

Answer 2

向量内积对元素积求和。张量内积遵循相同的想法。匹配元素，相乘，然后全部相加。