Matlab中的精确矩阵乘法答案

【问题标题】：Accurate matrix multiplication in MatlabMatlab中的精确矩阵乘法
【发布时间】：2012-11-23 15:43:54
【问题描述】：

有2个矩阵：

A：（6 x 78）max=22.2953324329113, min=0
B：（6 x 6）max=2187.9013214004 , min=-377.886378385521

B 是对称的，因此 C = A' * B * A 必须是对称矩阵（理论上），但是当我在 Matlab 中计算它们。事实上：

max(max(abs(C - C'))) = 2.3283064365386963e-010

如何将它们相乘并得到准确的结果？
或
什么是舍入 C 元素的安全方法？

我读了这个问题：efficient-multiplication-of-very-large-matrices-in-matlab，但我的问题不是速度或内存。我需要一个准确的结果

谢谢。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

你可以考虑B的cholesky分解，因为它是对称的

  B = R'R
  R = chol(A)   % // in matlab

然后是C = A'R'R A =D'D，其中D = RA。

使用C=D'D，您应该具有机器 epsilon 精度，但由于分解的准确性，您可能会引入错误。

【讨论】：

【解决方案2】：

您需要阅读“每个计算机科学家都应该了解的浮点运算知识”：

意识到计算机永远无法给出完美的浮点结果，这给您留下了一些选择：

尽可能少地执行操作，即选择操作顺序以使舍入误差最小li>
固定小数点算术 - 或整数算术 - 这并不总是适用于所有应用程序，但在某些应用程序中，您可以摆脱它。金融应用是最常被引用的例子（乘以 100 就可以赚到钱！完成后除以 100！）。
这么晚了我还想不出其他技巧。

我将不得不给你的操作一个旋转 - 在我的机器上，eps 给我2.2204e-16，这比你得到的要低六个数量级。看看你的机器上的 eps 是什么 - 它应该是相似的 - 如果它类似于 1e-12 左右，我会说你的结果正是你对这些操作的期望。

当我使用随机数执行此操作时，我得到

a = rand(6, 78);
b = rand(6, 6);
b = b + b';   % To make b symmetric
c = a' * b * a;
max(max(abs(c - c')))

ans =

   7.1054e-15

经过这么多操作后，舍入误差与我所期望的有点接近，但我不确定您的输入、您的机器，而且我不知道还有什么可能会影响事情。

干杯，--

【讨论】：