用整数项计算矩阵幂答案

【问题标题】：Compute matrix power with integer entries用整数项计算矩阵幂
【发布时间】：2019-03-14 14:55:26
【问题描述】：

假设我有一个常数矩阵 A，我想计算 pow(A, n)。如in this question 所述，我可以计算它的特征值分解（或更一般地说，它的不变子空间和广义模态矩阵）以加快处理速度。

如果 A 是大小为 k 的方阵，则该算法通过平方取幂的复杂度为 O(k log n)，准备成本（计算模态矩阵）为 O(k^3)。

我正在考虑的问题是精度损失。计算特征值等将我们带出整数域到浮点数。尽管最后我们知道 pow(A, n) 必须包含所有整数条目，但上面概述的算法只计算浮点数。

另一种方法是通过平方仅利用求幂，但这只会给我们一个 O(k^3 log n) 算法。

有没有办法准确地 - 无需转换为浮点数 - 快速计算 pow(A, n)？

【问题讨论】：

如果这会导致有人可以在纸上执行但这是高度可选的算法，那就更好了
即使您使用（固定大小）整数，由于溢出导致的信息丢失也是一个问题。所以通常你需要使用任意精度的整数。您也可以使用任意精度有理数来计算特征值，从而避免固定精度浮点的精度损失。
@ChrisDodd 考虑矩阵[1 1] 超过[1 0]。它的特征值为(1+sqrt(5))/2 和(1 - sqrt(5))/2。任意精确的理性不会拯救你。

标签： algorithm integer precision matrix-multiplication

【解决方案1】：

特征值分解也可以用于有限域上的矩阵，但前提是该域恰到好处。因此，不仅需要预处理来进行特征值分解，还需要找到（一些）有限域，甚至可以在这些域上进行。

寻找多个解有助于避免使用巨大的有限域，然后在一些小域中计算 pow(A, n) 并使用 CRT 计算出 ℤ 中的解。但这需要以某种方式有足够数量的足够大小的字段来使用，并且您不会事先真正知道什么是足够的（总是有一些 n 超过它停止工作），所以也许这一切都行不通在实践中。

举个小例子：

A = [[1, 1],
     [1, 0]]

特征 x² - x - 1，让我们猜测模 1009 会起作用（确实如此），然后有根 383 和 627，所以：

A = QDP mod 1009
Q = [[  1,   1],
     [382, 626]]
D = [[383,   0],
     [  0, 627]]
P = [[ 77, 153],
     [933, 856]]

例如

pow(A, 15) = Q [[928,   0], P = [[987, 610],
                [  0, 436]]      [610, 377]]

斐波那契数列符合预期，一切顺利。但是只有 1009 作为模数，指数超过 15 会使结果与 ℤ 中的结果不匹配，那么我们将需要更多/更大的字段。

【讨论】：

如果你找到两个（或更多）这样的字段，你可以通过中国剩余定理计算出 Z 的结果，我是否理解正确？
@WorldSEnder 仅当字段大小的乘积足够大时，这是令人讨厌的部分

【解决方案2】：

使用Cayley-Hamilton theorem 我们可以更快。该定理指出，维度k 的每个矩阵幂都可以写成A 的第一个k 幂的和。

如果我们知道这一点，我们可以通过平方来使用幂运算，但我们不是在矩阵上工作，而是在A 上使用系数在ℤ 中的多项式。然后，我们可以在每一步之后将多项式减少特征多项式。

举个小例子：

A = [[1, 1],
     [1, 0]]
A^2 = A + 1 = writing poly. coefficients = {1, 1}

pow(A, 15) = {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}
           = {1, 0} * ({1, 0} * ({1, 0} * {1, 0}^2)^2)^2
           = {1, 0} * ({1, 0} * ({1, 0} * {1, 0, 0})^2)^2
           = {1, 0} * ({1, 0} * ({1, 0} * {1, 1})^2)^2
           = {1, 0} * ({1, 0} * ({1, 1, 0})^2)^2
           = {1, 0} * ({1, 0} * {2, 1}^2)^2
           = {1, 0} * ({1, 0} * {4, 4, 1})^2
           = {1, 0} * ({1, 0} * {8, 5})^2
           = {1, 0} * ({8, 5, 0})^2
           = {1, 0} * {13, 8}^2
           = {1, 0} * {169, 208, 64}
           = {1, 0} * {377, 233}
           = {377, 233, 0}
           = {610, 377}
           = [[987, 610],
              [610, 377]]

那么，运行时成本是多少？微不足道的O(k^2 * log n)，因为在每个平方步骤中，我们需要计算两个多项式的平方并减少字符。多项式。在另一个答案中使用与@harold 类似的技巧，通过使用离散傅立叶多项式乘法得到O(k log k log n)，因为我们可以找到原始根。

【讨论】：