正则表达式属性（理论）[关闭]

Question

我正在阅读 Aho 和 Ullman 的著作《解析、翻译和编译理论》。在第 2 章介绍正则表达式的部分，有一个正则表达式属性的列表。我不明白属性 2 和 8。这是属性列表：

(1) ???? + ？？？ = ???? + ????

(2) ∅* = ??????

(3) ???? + (???? + ????) = (???? + ????) + ????

(4) ????(????????) = (????????)????

(5) ????(???? + ??????) = ???????? + ????????

(6) (???? + ??????)???? = ???????? + ????????

(7) ?????????? = ???????? = ????

(8) ∅???? = ????∅ = ∅

(9) ????* = ???? + ????*

(10) (????* )* = ????*

(11) ???? + ？？？ = ????

(12) ???? + ∅ = ????

其中 ∅ 是表示正则集 ∅, ????, ????, ???? 的正则表达式是任意正则表达式，并且 ????是空字符串。

性质 (2) 和 (8) 如何证明？

编辑：为了解释 +、* 等的符号，以下是书中给出的一些定义（引用）：

定义让????是一个有限的字母表。我们定义了一个正则集 ？？？递归方式如下：

(1) ∅（空集）是 ???? 上的正则集。

(2) {????} 是 ???? 上的常规集合。

(3) {????} 是一个常规集合超过 ????对所有人 ？？？？在????。

(4) 如果 ????和 ？？？？常规集合结束了????，那么也结束了

(a) ???? ∪ ????.

(b) ??????????.

(c) ????*.

(5) 没有其他东西是正则集。

因此 ????* 的子集是正则当且仅当它是 ∅、{????} 或 {????}， 对于一些 ？？？？在 ?????? 中，或者可以通过有限数量的 操作联合、连接和闭包的应用。

.

定义正则表达式 over ????和正则表达式 它们表示是递归定义的，如下：

(1) ∅是表示正则集∅的正则表达式。

(2) ????是表示正则集 {????} 的正则表达式。

(3) ????在 ？？？？是表示正则集 {????} 的正则表达式。

(4) 如果 ????和 ？？？？是表示正则集的正则表达式？？？？ 和????，然后分别

(a) (????+????) 是一个表示 ???? 的正则表达式∪ ????.

(b) (????????) 是表示????????的正则表达式。

(c) (????)* 是表示 ????* 的正则表达式。

(5) 没有其他东西是正则表达式。

Answer 1

我的猜测是 2 和 8 个属性可能只是一个简单的数学运算：

属性 2

∅ 是一个空集，那么∅* = ? 为真，∅+ = ? 也为真，∅{Infinity} = ? 也为真，因为 e 是一个空字符串。

一个正则表达式是一个字符串，因此一个空的正则表达式重复任意次数或任何操作，仍然是一个空的正则表达式，它再次等于右侧的一个空字符串.

参考： Why is the Kleene star of a null set is an empty string?

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属性 8

∅? = ?∅ = ∅ 为真，∅?∅?∅? = ?∅?∅?∅ = ∅ 也为真，因为空集与任何东西组合都会产生空集。

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参考：

Regular expressions with empty set/empty string

What is the difference between language of empty string and empty set language?

How can concatenating empty sets (languages) result in a set containing empty string?