查找配对订购的有效方法？答案

【问题标题】：Efficient Way to Find Pair Orderings?查找配对订购的有效方法？
【发布时间】：2011-06-11 22:43:06
【问题描述】：

假设我有三个数组a、b 和c，它们的长度相等N。每个数组的元素都来自totally ordered set，但没有排序。我还有两个索引变量i 和j。对于所有i != j，我想计算索引对的数量，例如a[i] < a[j]、b[i] > b[j] 和c[i] < c[j]。有什么方法可以在小于 O(N ^ 2) 的时间复杂度内完成，例如创造性地使用排序算法？

注意：这个问题的灵感是，如果你只有两个数组，a 和b，你可以找到索引对的数量，例如a[i] < a[j] 和b[i] > b[j]in O(N log N) with a merge sort。我基本上是在寻找对三个数组的概括。

为简单起见，您可以假设任何数组中没有两个元素是相等的（没有关系）。

【问题讨论】：

当这个算法完成时你想要一个数组吗？例如。一个按排序顺序存储来自a、b 和c 的所有元素的数组？
您能否举例说明什么是“明确定义的总排序”？
集合上的全序具有反对称、传递性和整体性；有关更多信息，请参阅 Wiki 文章。 en.wikipedia.org/wiki/Total_order
@David：数组中的元素是完全有序集合的成员，即它们可以排序，但不是。
@David，对不起，我应该说“对于每个数组，元素都是一些完全有序集合的成员”。然而，@dsimcha 的措辞是更常用的表达方式。

标签： algorithm math sorting statistics theory

【解决方案1】：

通过对数组a进行排序，同时重新排列数组b和c，我们可以假设a[i] i b[j] 和 c[i] b[j] 并且 c[i]

现在看来这种查询可以用二维segment tree来完成：http://en.wikipedia.org/wiki/Segment_tree一次迭代的代价是O(log^2 n)，总复杂度是O(n log^2 n)。

（请注意，我在这里假设数组的元素是数字。没关系，因为使用排序我们总是可以将数组的元素替换为从 1 到 n 的数字，从而保留顺序。）

编辑：实际上，称为 Fenwick 树或二叉索引树的更简单的结构就足够了。见此链接：http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=binaryIndexedTrees#2d

【讨论】：