如何找到正确的方法在三角形上投影点以在网格上绘制线？

Question

我有网格和 2 个点 - A 和 B。每个点都位于网格的某个三角形上。主要目标是 - 使用 2 个点在网格上绘制 正确 线。当点位于具有不同平面的三角形上时 - 我在画线时遇到问题。

我做什么：

CurrentTriangle = A 点所在的三角形。

而 CurrentTriangle != 带 B 点的三角形：

将 B 投影(Bp) 到 CurrentTriangle：将 B 移动 -CurrentTriangle.normal * 到平面的距离。

找到三角形的出口点 - ABp 与三角形边的交点（将 3d 坐标转换为 2d 并找到交点，然后使用重心坐标得到 3d 交点）。

将结果位置移向位置 B 以找到新的 CurrentTriangle。

问题是将位置 B 正确地投影到 CurrentTriangle 的平面上。实际结果：

预期结果（红线）：

Answer 1

在世界空间坐标中工作（或者更好的是，以相机中心为原点的 3D 笛卡尔坐标，但无论您使用何种 3D 坐标系来表示所有数据）。假设您知道 A 和 B 在世界空间中的笛卡尔坐标（基本上将它们的齐次坐标除以它们各自的第四分量并去掉第四分量，现在是 1）。假设您也知道相机中心的笛卡尔坐标，请将该点称为 O。

想法是将由点 A、B、O 确定的平面与每个三角形相交，从包含 A 的平面开始，到包含 B 的平面结束。

1. 首先，求平面 ABO 的法向量 N，它是 向量 OA 和 OB。

2. 现在，从包含 A 的三角形开始。

   • 让三角形有顶点 U、V 和 W，同样用笛卡尔世界坐标书写。
   • 然后计算向量 UV 和 UW 的叉积向量 M。
   • 然后计算 N 和 M 的叉积，得到向量 K。
   • 检查与向量 AB 的 K 点积是否为正。如果不是，则将 K 乘以 -1。
   • 从点 A 开始跟随矢量 K 直到与三角形 UVW 的边缘相交。用 P 表示该点。
   • 作为这些步骤的结果，您选择了一个点 P 以及与三角形 UVW 共享 P 所在边的三角形。

3. 重复以下过程：假设您在一个三角形 UVW 处，并且您已经确定了它的一条边上的点 P（例如，参见前面的步骤 2）。

   • 取向量 UV 和 UW 的叉积向量 M。
   • 取向量 N 和 M 的叉积向量 K。
   • 从点 P 开始沿着矢量 K 直到与三角形 UVW 的边缘相交（或者，如果您在最后一个三角形，直到到达点 B）。用 P 表示新的交点。
   • 点 P 位于三角形 UVW 的三个边之一上。取下一个三角形，它是与 UVW 共享 P 所在边的三角形。称这个新三角形为 UVW。
   • 继续重复第 3 步，直到到达 B 点所在的三角形 UVW。

编辑1： （算法中几何构造的解释）你有向量N = OA x OB垂直于平面OAB和向量M = UV x UW垂直于飞机UVW。那么L 两个平面OAB 和UVW 的交线L 位于这两个平面上 一方面，L 位于平面OAB 上，因此从点O 投影到屏幕上作为线。另一方面，L 位于三角形UVW 的平面上。因此，线L 垂直于向量N 和M。因此，向量N 和M 的叉积向量K = N x M 垂直于它们两者，因此平行于线L（即向量K 与线L 对齐）。因此线L（位于三角形UVW 的平面上）由点P 和向量K 定义。

编辑2： （可能是算法的简化）

再次，在世界空间坐标中工作（或者更好的是，以相机中心为原点的 3D 笛卡尔坐标，但无论您拥有所有数据的 3D 坐标系）。假设您知道 A 和 B 在世界空间中的笛卡尔坐标以及三角剖分顶点的所有世界坐标。假设您也知道相机中心的笛卡尔坐标，请将该点称为 O。

想法是将由点 A、B、O 确定的平面与每个三角形相交，从包含 A 的平面开始，到包含 B 的平面结束。

这是几何理由。从包含 A 的三角形开始。让三角形有顶点 U、V 和 W，同样用笛卡尔世界坐标书写。想法是找出 UVW 的三个边中的哪一个在点 P 处与平面 OAB 相交，使得 AP 与 AB 的点积 AP.AB 为正数。它基本上是 3D 中的线与 3D 中的平面相交的公式。比如说，这里的线是由点 V 和 W 确定的，而平面是 OAB。那么平面方程为 N.(X-A) = 0，对于平面 OAB 上的任意点 X。这里 '。'是点积。线性方程为 X = V + t*(W-V)。因此，当我们将直线方程代入平面方程时，通过求解 t 可以找到交点： N.(V + t*(W-V) - A) = 0 很容易求解 t： t = ( N.(A-V) )/( N.(W-V) )
因此 OAB 和 UV 的交点 P 是 P = V + ((N.(A-V))/( N.(W-V)))*(W-V) 为了确保 P 在边缘，即它在 U 和 V 之间，我们必须检查 N.(W-V) /= 0 和 0

1. 首先，求平面ABO的法向量N，它是向量OA和OB的叉积N = OA x OB。

2. 从包含 A 的三角形开始。让三角形有顶点 U、V 和 W，同样用笛卡尔世界坐标书写。

   • 计算点积N.(W-V) 并检查它是否不等于0。如果是，则选择三角形的另一条边，从第 2 步开始重新开始；
   • 计算t = ( N.(A-V) )/( N.(W-V) )。如果 t > 1 或 t
   • 计算P = V + t*(W-V);
   • 执行以下检查： (i) 计算叉积向量 OA x OP 和 OP x OB； (ii) 计算他们的点积(OA x OP).(OP x OB)； (iii) 检查(OA x OP).(OP x OB) > 0。如果不是，则选择另一条边，然后从第 2 步开始重新开始；
   • 画出连接点A到点P的线段；
   • 取与三角形 UVW 共享 P 所在边的三角形。
   • 作为这些步骤的结果，您选择了一个点 P 以及与三角形 UVW 共享 P 所在边的三角形。

3. 重复以下过程：假设你在一个三角形 UVW 上，并且你已经在它的一个边上确定了点 P，比如 VW（例如，参见前面的步骤 2）。我们需要找到 OAB 与平面 OAB 相交的两条边 UV 或 UW 中的哪一条（它应该与其中之一相交）。从边缘 UV 开始：

   • 计算N.(V-U) 并检查它是否不等于0。如果是，则选择另一条边UW，从第3步开始重新开始；
   • 计算t = ( N.(A-U) )/( N.(V-U) )。如果 t > 1 或 t
   • 计算P = U + t*(V-U);
   • 绘制连接旧点和新点 P 的线段（在我们的示例中，第一个在边缘 VW 上，第二个在边缘 UV 上）；
   • 取与三角形 UVW 共享 P 所在边的三角形。
   • 点 P 位于三角形 UVW 的三个边之一上。取下一个三角形，它是与 UVW 共享 P 所在边的三角形。称这个新三角形为 UVW。
   • 继续迭代第 3 步，直到到达 B 点所在的三角形 UVW。