确定将一个向量发送到另一个向量的四元数答案

【问题标题】：Determine Quaternion Which Sends One Vector into Another确定将一个向量发送到另一个向量的四元数
【发布时间】：2013-07-10 07:08:56
【问题描述】：

首先，这不是重复的。所有其他看似相关的问题都要求四元数表示 2 个向量的方向之间的旋转，即解决方案不考虑这 2 个向量的范数。

这就是我想要的。想象一下，我有非单位向量 a = (0, 0, 2) 和 b = (3, 1, 2)。遵循最初的汉密尔顿对四元数的定义q = a / b（这个定义是象征性的，因为你当然不能划分向量）。请参阅Wikipedia for this concept。从中我可以推断（也许这很天真）我能以某种方式找到q 和q * b = a。

换句话说，给定a 和b 我想找到一个四元数q 乘以b 将得到a。请注意，我对简单的旋转（单一）四元数不感兴趣，它只会将b 旋转到a 的方向。实际上，除了旋转之外，我还希望b 的范数也可以缩放到a 的范数。

是的，我知道我可以分两个阶段进行：使用标准酉四元数方法旋转 b，然后手动将旋转后的 b 缩放到 a 的范数，这当然会涉及额外的平方根 (这是我在这里试图避免的）。事实上，我想要这两个操作的计算高效组合，我觉得这是可以实现的，但信息并不广泛，因为它似乎不是传统的用例。

也许我错了。请分享你的经验。谢谢。

为什么不math.stackexchange.com？

因为我对彻底的数学推导或解释不感兴趣。我关心的是构造这种四元数的计算效率算法。不过，如果答案中包含这些细节，我真的很感激，可能还有其他人将来也会偶然发现同样的问题。

对于接近投票者：

继续关闭Finding quaternion representing the rotation from one vector to another。

此外，我已正确标记了我的问题。我的问题属于 StackOverflow 中这些人口众多的标签。因此，您关闭的理由没有任何意义。

【问题讨论】：

就四元数而言，你有conjugate(x)*x = norm(x)^2。真正的四元数是中心的（与所有四元数交换），所以q = 1/norm(b)^2 * a * conjugate(b) 将满足q*b = a，并且不涉及平方根。
这可能更适合math.stackexchange.com
@BlueRaja：不，我的问题与编程更相关，我对算法感兴趣，而不是深入的数学理解（尽管如果包含在答案中也很好）。
@Daniel Fischer：对不起，我对q = 1/norm(b)^2 * a * conjugate(b) 公式有点困惑。 a 和 b 是向量，而不是四元数。我错过了什么吗？如何用向量构造四元数？出于同样的原因，conjugate(b) 看起来很奇怪。
对于所有亲密的选民：继续并关闭stackoverflow.com/questions/1171849/…。

标签： algorithm math 3d linear-algebra quaternions

【解决方案1】：

Daniel Fischer 的评论答案是正确的。事实证明，构造这样的四元数有无数种方法。问题归结为具有三个方程和四个变量的线性系统。它的约束不足（如果我们假设我们将丢弃结果的 [w] 部分）。

也许我可以澄清 Fischer 的答案。

当您将两个向量视为四元数并将它们相乘时，您在 [x,y,z] 部分得到它们的叉积，在 [w] 部分得到它们的否定点积：

    | 0| | 0| |-ax*bx-ay*by-az*bz|
a*b=|ax|*|bx|=|    ay*bz-az*by   |
    |ay| |by| |    az*bx-ax*bz   |
    |az| |bz| |    ax*by-ay*bx   |

当你将一个全四元数与一个向量左乘时，你会得到相同的结果，但 [w] 部分会缩放向量并将其添加回叉积：

    |qw| | 0| |-qx*bx-qy*by-qz*bz|
q*b=|qx|*|bx|=| qy*bz-qz*by+qw*bx|
    |qy| |by| | qz*bx-qx*bz+qw*by|
    |qz| |bz| | qx*by-qy*bx+qw*bz|

回想一下

a x b = |a||b|sin(Θ)n

其中n 是与a 和b 正交的单位向量。和

a . b = |a||b|cos(Θ)

向量的四元数共轭就是它的否定。

如果我们看一下 Fischer 方程：

a = q*b = |b|^{-2} * a * b' * b

我们可以看到

a*b' = | -dotP(a,-b)| 
       |crossP(a,-b)|

所以

a*b'*b = |        -dotP(crossP(a,-b),b)         |
         | crossP(crossP(a,-b),b) - dotP(a,-b)b |

此四元数的顶部 ([w]) 部分必须为零，因为它是两个正交向量之间的点积。底部是a 的缩放版本：嵌套叉积产生一个与b 和n 都正交且长度为|a|*|b|*|b| 的向量。点积部分将a 的投影添加到b 上（按b 的平方长度缩放）。这使它与a 平行。一旦我们将b 的平方长度除以，剩下的就是a。

现在，这是否真的有用的问题是不同的。找到a 并不是很有用，因为您需要从一开始就拥有它。此外，q*c 很可能不会做你希望的事情，但你必须告诉我们那是什么。

【讨论】：