为什么 JavaScript 中的“（2.5 < 2.5 + Number.EPSILON）”为假？

Question

我想在数组中找到小于某个值的值。 我尝试使用 Number.EPSILON，因为输入值不是确定值（例如 1.5000000000001）。

我在测试中发现了一些奇怪的东西：

>> (1.5 < 1.5 + Number.EPSILON) 
<- true 
>> (2.5 < 2.5 + Number.EPSILON)
<- false

这是为什么？ 测试环境为 Chrome 浏览器控制台。

Answer 1

/*
    ┌─────────────────────────────────────┐
    │ Number.EPSILON = 2¯⁵² ≈ 2.2 * 10¯¹⁶ │
    └─────────────────────────────────────┘

    Question 1: 2.5 < 2.5 + ε ?
                                                        2¯⁵¹
  2¹↴                                                   ⇩
    10100000000000000000000000000000000000000000000000000  = 2.5 (JS)
   +                                                     1 = ε
   ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                        ┌┐ (01, 1 truncated )
    101000000000000000000000000000000000000000000000000001
  = 10100000000000000000000000000000000000000000000000000  = 2.5 (JS)
     ╰──────────────────── 52-bit ──────────────────────╯

    ⭐️ Conclusion ❌: 2.5 === 2.5 + ε

    Question 2: 1.5 < 1.5 + ε ?
                                                        2¯⁵²
   2⁰↴                                                   ⇩
     11000000000000000000000000000000000000000000000000000 = 1.5 (JS)
   +                                                     1 = ε
   ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
  =  11000000000000000000000000000000000000000000000000001 = 1.5 + ε (JS)
      ╰──────────────────── 52-bit ──────────────────────╯

    ⭐️ Conclusion ✅: 1.5 < 1.5 + ε

*/

// --------------- log ---------------

const ε = Number.EPSILON;

[
    2.5 < 2.5 + ε,      // false❗️
    1.5 < 1.5 + ε,      // true

].forEach(x => console.log(x))

Answer 2

浮点数的精度有限。根据语言和体系结构，它们通常使用 32 位 (float) 或 64 位 (double，“双精度”) 表示。尽管在 JavaScript 这样的无类型语言中事情变得模糊不清，但在这一切之下仍然有一台实际的机器，这台机器必须执行浮点运算。

问题在于，由于精度有限，某些计算的结果无法准确表示。这通过Wikipedia page about floating point artithmetic 上的一些示例进行了解释。

^{对于想要了解所有细节的人，通常推荐有关What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic 的文章。但说真的：并不是每个计算机科学家都需要了解所有这些，而且我很确定世界上只有少数人真正阅读整本书......}

作为一个过度暗示的示例：假设您有 5 位数字来存储一个数字。当您添加类似

  10000.
+     0.00001
--------------------
= 10000.

.00001 部分基本上会被“截断”，因为它不适合 5 位数字。

^{（这不完全是这样的工作原理，但应该让这个想法得到理解）}

Number.EPSILON的实际值，根据the documentation，约为2.22 * 10-16，是“1与大于的最小浮点数之差1"。 （这有时称为ULP, Unit In The Last Place）。

因此将此值添加到 1.0 将产生不同的数字。但是将它添加到 2.5 不会 得到不同的数字，因为 2.5 和大于 2.5 的最小浮点数之间的差大于这个 epsilon。因此 epsilon 被截断，就像上面示例中的 .00001。

---

某些语言/库可能提供“ulp”函数，该函数返回给定值与下一个更大的可表示值之间的差值。例如，在 Java 中，您有

System.out.println(Math.ulp(1.0)); // Prints 2.220446049250313E-16
System.out.println(Math.ulp(2.5)); // Prints 4.440892098500626E-16

第一个显然是存储在Number.EPSILON 中的内容。第二个是添加到 2.5 时应该产生不同值的值。所以

• 2.5 < 2.5 + 4.4408E-16 将是 false 和
• 2.5 < 2.5 + 4.4409E-16 将是 true

Answer 3

Number.EPSILON 是：

1 和最小浮点数之间的差值更大 大于 1

为了论证，假设这个数字是 0.00000000000000000000000001。

现在，

1.5 < 1.5 + 0.00000000000000000000000001 === true

并且，当你添加的这个极小分数的基数变大时，JS数学评估的精度计算找到了它的边界。

2 < 2 + 0.00000000000000000000000001 === false

Answer 4

虽然Number.EPSILON 本身可以精确表示，但这并不能保证向它添加值（或进一步操作它）会产生完美的精确度。在这种情况下，1.5 + Number.EPSILON 会产生一个略高于 1.5 的数字：

console.log(1.5 + Number.EPSILON);

明显大于 1.5。另一方面，将 2.5 添加到 Number.EPSILON 会得到 2.5 - 您希望的精度在添加过程中丢失了。

console.log(2.5 + Number.EPSILON);

2.5 < 2.5 计算结果为 false，正如预期的那样。