我见过以[first1,last1) 和[first2,last2) 表示的数字范围。
我想知道这样的符号是什么意思。
【问题讨论】：
[first, last) 是一个半开区间，正如其他人所指出的那样。在一些教科书中，这也写成[first, last>，意思完全一样，只是语法不同。
][。或者，如果您将括号以相反的顺序背靠背放置，它看起来就像一个 X 表示排他性：)(
[a,b]包括端点。(a,b)排除他们。在您的情况下，包括间隔开始的终点，但不包括终点。所以这意味着区间“first1
半开区间在编程中很有用，因为它们对应于循环的常见习语：
for (int i = 0; i < n; ++i) { ... }
这里 i 在 [0, n) 范围内。
【讨论】：
括号 - [ 或 ] - 表示范围的结尾是包含 - 它包括列出的元素。括号 - ( 或 ) - 表示 end 是独占并且不包含列出的元素。所以对于[first1, last1)，范围以first1 开始（包括它），但在last1 之前结束。
假设整数：
【讨论】：
它可以是区间定义中的数学约定，其中方括号表示“包含极值”，圆括号表示“极值排除”。
【讨论】：
区间符号的概念出现在数学和计算机科学中。数学符号[、]、(、) 表示区间的域（或范围）。
括号[和]表示：
括号(和)表示：
混合状态的区间称为“半开”。
例如，从 1 .. 10（包括）的连续整数的范围将被 标记，如下所示：
注意inclusive 这个词是如何使用的。如果我们想排除端点但“覆盖”相同的范围，我们需要移动端点：
对于区间的左右边缘，实际上有 4 种排列：
(1,10) = 2,3,4,5,6,7,8,9 Set has 8 elements
(1,10] = 2,3,4,5,6,7,8,9,10 Set has 9 elements
[1,10) = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Set has 9 elements
[1,10] = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 Set has 10 elements
这与数学和计算机科学有什么关系？
数组索引倾向于使用不同的偏移量，具体取决于您所在的字段：
在实现数学算法（例如 for 循环）时，这些差异可能会导致细微的栅栏柱错误，也就是 off-by-one 错误。
如果我们有一个集合或数组，比如前几个素数[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ]，数学家会将第一个元素称为1st absolute 元素。即使用下标符号来表示索引：
相反，某些编程语言会将第一个元素称为zero'th relative 元素。
由于数组索引在 [0,N-1] 范围内，因此为了清楚起见，为范围 0 .. N 保持相同的数值是“不错的”，而不是添加文本 noise 比如-1 偏见。
例如，在 C 或 JavaScript 中，要遍历包含 N 个元素的数组，程序员将编写常见的 i = 0, i < N 习语，区间为 [0,N) 而不是稍微冗长的 [0,N-1 ]:
function main() {
var output = "";
var a = [ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ];
for( var i = 0; i < 10; i++ ) // [0,10)
output += "[" + i + "]: " + a[i] + "\n";
if (typeof window === 'undefined') // Node command line
console.log( output )
else
document.getElementById('output1').innerHTML = output;
} <html>
<body onload="main();">
<pre id="output1"></pre>
</body>
</html>由于数学家从 1 开始计数，因此他们会改用 i = 1, i <= N 命名法，但现在我们需要用从零开始的语言来更正数组偏移量。
例如
function main() {
var output = "";
var a = [ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ];
for( var i = 1; i <= 10; i++ ) // [1,10]
output += "[" + i + "]: " + a[i-1] + "\n";
if (typeof window === 'undefined') // Node command line
console.log( output )
else
document.getElementById( "output2" ).innerHTML = output;
}<html>
<body onload="main()";>
<pre id="output2"></pre>
</body>
</html>旁白：
在基于 0 的编程语言中，您可能需要一个虚拟零个元素的 kludge 才能使用基于 1 的数学算法。例如Python Index Start
区间表示法对于浮点数也很重要，可以避免细微的错误。
在处理浮点数时，尤其是在计算机图形学（颜色转换、计算几何、动画缓动/混合等）中，通常会使用归一化数字。即 0.0 到 1.0 之间的数字。
如果端点是 inclusive 或 exclusive，了解边缘情况很重要：
其中 M 是一些 machine epsilon。这就是为什么您有时可能会在 C 代码（例如 1e-6）中看到 32 位浮点数的 const float EPSILON = 1e-# 习惯用法。这个 SO question Does EPSILON guarantee anything? 有一些初步的细节。如需更全面的答案，请参阅 FLT_EPSILON 和 David Goldberg 的 What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic
随机数生成器的某些实现，random() 可能会产生 0.0 .. 0.999... 范围内的值，而不是更方便的 0.0 .. 1.0。代码中正确的 cmets 会将其记录为 [0.0,1.0) 或 [0.0,1.0]，因此在用法上没有歧义。
例子：
random() 颜色。您将三个浮点值转换为无符号 8 位值，以生成分别具有红色、绿色和蓝色通道的 24 位像素。根据random() 输出的间隔，您最终可能会得到near-white (254,254,254) 或white (255,255,255)。 +--------+-----+
|random()|Byte |
|--------|-----|
|0.999...| 254 | <-- error introduced
|1.0 | 255 |
+--------+-----+
有关带间隔的浮点精度和鲁棒性的更多详细信息，请参阅 Christer Ericson 的 Real-Time Collision Detection，第 11 章 数值鲁棒性，第 11.3 节 鲁棒浮点使用。
【讨论】：