计算具有两个变量的单个简单方程的解集的算法

Question

假设我有一个简单的公式：

7x + 4y = n

其中 n 由我们选择，x、y 和 n 都是正整数。这是给我们的唯一等式。在可能的解决方案中，我们需要 x 最小的解决方案 (x,y)。例如

7x + 4y = 14, then (2, 0) is the solution
7x + 4y = 15, then (1, 2) is the solution
7x + 4y = 32, then (4, 1) and (0, 8) are the possible solutions,
of which (0, 8) is the correct solution

我想设计一种算法，以尽可能少的运行时间计算它。我想到的当前算法是这样的：

Given an input n
Calculate max(x) = n/7
for i = 0 to max(x)
    If the equation 7*i + 4*y = n holds
        return value of i and y
    else
        continue

我认为，在最坏的情况下，该算法的运行时间可达 O(n)。有没有更好的算法来计算解？

Answer 1

我们有

7(x-4)+4(y+7)=7x+4y

所以如果 (x, y) 是一个解，那么 (x-4,y+7) 也是一个解。因此，如果有一个解决方案，那么就有一个 x

这可以扩展到任何形式为 ax+by=n 的方程，您只需要测试 x=0..b-1。

Answer 2

让我们考虑更一般的问题

• 对于两个互质的正整数a 和b，给定一个正整数n，找到一对非负整数(x,y)，使得a*x + b*y = n 与最小x。 （如果有。不必有，例如7*x + 4*y = 5 没有非负的x 和y 的解。）

暂时忽略非否定性，给出任何解决方案

a*x0 + b*y0 = n

所有解决方案的形式为(x0 - k*b, y0 + k*a)，表示某个整数k。所以 x 模 b 和 y 模 a 的余数是解的不变量，我们有

a*x ≡ n (mod b), and b*y ≡ n (mod a)

所以我们需要解方程a*x ≡ n (mod b) - 下面是另一个方程。

让0 < c 是一个整数与a*c ≡ 1 (mod b)。例如，您可以通过扩展的欧几里得算法找到它，或者（等效地）在 O(log b) 步骤中 a/b 的连分数展开。两种算法自然会产生具有该属性的唯一 c < b。

那么x 的最小候选者是n*c 模b 的余数x0。

问题有一个非负x 和y 的解当且仅当x0*a <= n，然后x0 是出现在任何非负x 和y 的解中的最小非负x .

当然，对于像7和4这样小的a和b，蛮力并不比计算a取模b的倒数慢。

Answer 3

我建议查看 Numerical Recipes in C 书中的 Simplex 方法。您可以轻松地将 C 代码视为伪代码并制作 java 版本。您想要的单纯形的版本是“约束单纯形”，它只处理正值。这本书是available online for free。从第 10.8 节开始并继续阅读。

Answer 4

O(n)：

y=n/4;
while((n-4y)%7!=0 && y!=0){
 y--;
}
x=(n-4y)/7;