编写一个程序来检查一个线性方程是否有正整数解

Question

我正在尝试编写一个算法来确定一个线性方程，特别是 ax + by = c 的形式，对于给定的 a、b、c 是否具有正整数解。它需要高效，因为数字 a、b 和 c 可以在 0

由于它是一个丢番图方程，我尝试检查 a 和 b 的 GCD 是否除以 c，但这样我无法区分正解、负解或零解。

Algorithm to determine non-negative-values solution existance for linear diophantine equation

我在这里找到了解决方案，但我不太明白。也许有人可以为我简化它？因为这个很笼统，我只对有 2 个变量的方程感兴趣。

Answer 1

整数解的存在

Bezout's identity 确实告诉你 gcd(a,b) 是 a 和 b 的最大公约数：

i) gcd(a,b) 是可以写成 ax + by 的最小正整数，并且
ii) ax + by 形式的每个整数都是gcd(a,b) 的倍数。

所以你去。如果c 可以被gcd(a,b) 整除，那么您就有了解决方案。

寻找积极的解决方案

从任何一对解决方案中，我们都可以得到所有其他解决方案。因此，我们可以看看它们是否可以是积极的。仍然来自相同的身份，我们得到：

当一对 Bézout 系数 (x0, y0) 已计算（例如，使用扩展欧几里得算法）时，所有对都可以表示为以下形式

现在我们完成了。你所要做的就是：

1. 使用扩展欧几里得算法，这将为您提供
   • gcd(a,b) 和
   • 一对(x0,y0) 这样a * x0 + b * y0 = gcd(a,b)
2. 检查gcd(a,b) 是否除以c。
   • 如果不是，则不存在解决方案。
   • 如果是这样，请将 x0 和 y0 乘以 c / gcd(a,b) 以获得方程的解。
3. 如果x0 和y0 有相同的符号，你就完成了。
   • 如果它们都是肯定的，那么你就有了肯定的解决方案，
   • 如果它们都是否定的，那么你不会。
4. 如果x0和y0有不同的符号，选择最小的（绝对值）k来改变负整数的符号。
   • 即如果x0为负数，则取k = floor(d * x0 / b)（四舍五入为-infinity）
     如果是y0 是负数，取k = ceil(-d * y0 / a)
   • 计算(x1,y1) = (x0 - k * b / d , y0 + k * a / d)
     • 如果x1 和y1 都是正数，则您刚刚找到了两个正整数解。
     • 如果翻转一个数字的符号会翻转另一个数字，则无法找到正解。

请注意，它与您链接的问题有关，但变量的数量不同。这已解决，因为您只有两个变量。