随机过程的方差答案

【问题标题】：Variance of stochastic process随机过程的方差
【发布时间】：2014-08-17 19:55:22
【问题描述】：

我有一个简短的问题。我有一个过程 x(t)=p*x(t-1)+v(t)，其中 v(t) 是 N(0,s^2) 并且 lpl

我知道 Var(x(t)-x(t-1)) = Var(x(t)) + Var(x(t-1)) - 2Cov (x(t), x(t-1 ））。如果我是正确的，现在差异应该是相同的？！但是协方差呢？

非常感谢

【问题讨论】：

标签： time-series variance

【解决方案1】：

这个问题可能更适合发到Cross Validated。

从编程的角度来看，我会将您的问题视为模拟实验。

在 R 软件中，您可以从自回归过程生成数据并计算模拟数据差异的样本方差。要细化它，你可以做几次，比如 1000 次，然后取平均值。例如，rho=0.6 和 s=4：

set.seed(123)
rho <- 0.6
s <- 4
vals <- NULL
for (i in seq(1000))
{
  x <- arima.sim(model = list(order = c(1,0,0), ar = rho), n = 500, sd = s)
  vals <- c(vals, var(diff(x)))
}
mean(vals)
#[1] 20.10488

从分析上讲，您可以重写等式，并在等式两边减去 x(t-1)：

x(t) - x(t-1) = rho * x(t-1) - x(t-1) + v(t)

然后，获得x(t-1)的方差表达式（与x(t)相同），并用它来获得上述表达式中的方差。如果我是正确的，你应该到达：

Var(x(t) - x(t-1)) = (rho - 1)^2 * (s^2/(1 - rho^2) + s^2

(rho - 1)^2 * (s^2 / (1 - rho^2)) + s^2
#[1] 20 # to be compared with 'mean(vals)' above

【讨论】：