我今天开始阅读“算法简介”，但我对其中的一个练习感到有些困惑。
练习1.2.2问读者
假设我们正在比较合并排序和插入排序的实现 机器。对于大小为 n 的输入，插入排序以 8n^2 步运行， 而归并排序以 64n log n 步运行。
对于 n 的哪些值，插入排序优于合并排序？
我首先尝试打开 Wolfram Alpha 并用它来绘制方程图，但我无法准确地比较这两个图。
然后我尝试为 n (200) 选择一个随机值，在纸上计算方程，然后根据我的结果修改 n 的值。
但这花了太长时间。
解决这个练习的正确方法是什么？
【问题讨论】：
由于这不是代数不等式，因此没有分析方法可以找到n in 的解决方案
(1) 8n² < 64n log_2 (n)
所以你需要近似它。有很多数值方法可以做到这一点，所以我们将使用一个快速的 Python 脚本来做到这一点。
首先，请注意 Python 的 math.log 函数是以 e 为底的对数，因此首先您需要使用标识将原来的以 2 为底的对数转换为以 e 为底的对数
(2) log_2 (n) = log_e (n) / log_e (2)
(Proof.)
在 (1) 中使用 (2) 并简化收益率
(3) n / log_e (n) <= 8 / log_e (2)
最后，在脚本中评估 (3) 上的 n
from math import log as ln
n = 2 # Since f(n) = n/ln (n) is not defined for n < 2.
while (n/ln (n) <= 8/ln (2)):
n += 1
print (n)
输出n = 44，这意味着44是不满足(1)的最小值。所以n <= 43是满足(1)的条件，也就是说插入排序胜过归并排序，而待排序的数组最多有43个元素。
【讨论】：
求解方程8n² < 64n lg n，我们得到方程2^(n/8) - n < 0。
有一次我没有参加测试，只是做一些练习，我使用了一个工具来查看f(n) = 2^(n/8) - n 的图表。
正如这里所质疑的，插入排序与合并排序具有相同时间的n 的自然数不存在，对于f(n) < 0，我们得到：
2
我希望它可以帮助某人:)
【讨论】：
对于 n·43、8n2·64n log n 和插入排序优于合并排序 尽管合并排序在 £(n log n) 最坏情况下运行，而插入排序在 £(n2) 最坏情况下运行 时间，插入排序中的常数因子使得小 n 更快。因此，使用它是有意义的 当子问题变得足够小时，合并排序中的插入排序。考虑修改 合并排序，其中大小为 k 或更小的子数组（对于某些 k）不进一步划分，而是排序 显式地使用插入排序。
【讨论】：
见here：8n2 = 64n log2n我>。只需将这两件事放在一个等式中即可。
即，大致 n = 43 是插入排序在这里有用的极限。
通常你可以通过解上面的方程 f(n) = g(n) 来解决这个问题求解 f(n) - g(n) = 0，但是这种情况下的解析结果是'不漂亮，因为您将多项式与对数函数混合在一起。我只是尝试一些值，看看结果从正面变为负面的位置。一旦你有了一个正点和一个负点，你就可以使用二分法来缩小范围。
蛮力的方法是简单地尝试所有 n 直到某一点。您已经知道 O(n2) 算法不适合大型数据集，因此 n 必须非常小。对于我的测试，它看起来像这样：
PS Home:\> function lb($n){[math]::Log($n)/[math]::Log(2)} # binary logarithm
PS Home:\> 1..80 | %{,($_,(8*$_*$_),(64*$_*(lb $_)))} | %{"{0}: delta={3}, I={1}, M={2}" -f $_[0],$_[1],$_[2],($_[2]-$_[1])}
...
38: delta=1210,9597126948, I=11552, M=12762,9597126948
39: delta=1024,36393828017, I=12168, M=13192,3639382802
40: delta=824,135922911648, I=12800, M=13624,1359229116
41: delta=610,216460117852, I=13448, M=14058,2164601179
42: delta=382,549232429308, I=14112, M=14494,5492324293
43: delta=141,080604940173, I=14792, M=14933,0806049402
44: delta=−114,240561917371, I=15488, M=15373,7594380826
45: delta=−383,463082570537, I=16200, M=15816,5369174295
46: delta=−666,633601368154, I=16928, M=16261,3663986318
47: delta=−963,796734153668, I=17672, M=16708,2032658463
48: delta=−1274,99519778461, I=18432, M=17157,0048022154
...
（请原谅糟糕的代码；这只是一个非常快速的涂鸦。）
【讨论】：
是否存在两个相等的 n 值？
超过该点会发生什么？下面？
【讨论】：