【问题标题】：joining two Bézier curves smoothly (C2 continuous)平滑连接两条贝塞尔曲线（C2 连续）
【发布时间】：2012-08-31 00:27:30
【问题描述】：
（this question的跟进。）
给定一系列三次 Bézier 曲线，我怎样才能对它们进行最小程度的修改以使它们以 C2 连续方式连接？
输入：
- 曲线 P 与控制点
P0, P1, P2, P3
- 曲线 Q 与控制点
Q0, Q1, Q2, Q3
- 如果有帮助，您可以假设它们已经是 C1 连续的。
约束：
- C0 连续性：
P3 = Q0
- C1 连续性：
P2 - P3 = Q0 - Q1
- C2 连续性：
P1 - 2*P2 + P3 = Q0 - 2*Q1 + Q2
- 尽可能接近原始曲线 P 和 Q 的修改曲线
【问题讨论】：
标签：
math
graphics
bezier
continuous
【解决方案1】：
使修改后的曲线尽可能接近原始曲线可以有多种解释，但可以考虑保持远离连接点的端点和切线恒定是合适的。所以点P0、P1、P3 = Q0、Q2、Q3 是不变的。
我们可以改变原点，使得P3 = Q0 = 0，强制C2连续性可以表示为：
P1 - 2*P2 = 2*Q1 + Q2
可以用复杂的表示形式表达P2=a*e^i*r 和Q1=b*e^i*r（保持相同的角度会强制 C2 连续性。计算
(P1 - Q2)/2 = c*e^i*s
强制 C2 连续性应该选择r=s，并找到a 和b 的组合，这样a+b =c。有无数种解决方案，但可以使用启发式方法，例如更改最小的a（从而产生不太明智的更改）。
如果这没有产生足够小的变化，请尝试两步优化：首先更改 P1 和 Q2 以使 s 更接近 r，然后应用上述步骤。